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Full text of "Les Appareils D'Integration"

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M de Mo pin 



BibîMMaue générale îles Sciences 



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Gordon Bell 



http://archive.org/details/lesappareilsdint05hdem 



BIBLIOTHEQUE GENEBALE DES SCIENCES. 



LES 



APPAREILS D'INTÉGRATION 



PARIS. - IMPRIMERIE G AUTIIIER-VILL ARS 
50271 Quai des Grands-Augustins, 55. 



LES 



APPAREILS D'INTÉGRATION 



INTEGRATEURS SIMPLES ET COMPOSES. 

PLANIMÈTRES ; 

INTÉGROMÈTRES; INTEGRAPHES ET COURRES INTEGRALES 

ANALYSE HARMONIQUE ET ANALYSEURS. 



PAR 



H. de MORIN, 

INGÉNIEUR CIVIL DES CONSTRUCTIONS NAVALES. 




PARIS, 

GAUTHIER-VILLARS, IMPRIMEUR-LIBRAIRE 

DU RUREAU DES LONGITUDES, DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE, 
Quai des Grands-Augustins, 55. 

1913 




"W: 






Tous droits de traduction, de reproduction et d'adaptation 
réservés pour tous pays. 



AVERTISSEMENT. 



La présente Étude contient, avec leur théorie, la mono- 
graphie des appareils d'intégration, c'est -à-dire de cette 
catégorie de machines à calcul destinées à effectuer les 
opérations qui se rencontrent dans les applications numé- 
riques du Calcul intégral. 

Beaucoup de ces appareils ont déjà fait l'objet de des- 
criptions dans des Revues scientifiques, Comptes rendus 
d'Académie, etc., ainsi que dans des Traités spéciaux, 
que nous avons consultés, et parmi lesquels nous citerons 
l'Ouvrage bien connu d'Abdank-Abakanowicz, le Calcul 
mécanique de M. l'ingénieur Jacob et le Catalogue de 
M. Walther von Djck. 

Nous avons également mis à profit d'utiles indications 
concernant certains appareils, dont l'étude fait partie des 
cours de l'École d'application du Génie maritime. 

Enfin, d'intéressants documents nous ont été fournis 
par MM. Amsler-Laffon et Coradi, les constructeurs bien 
connus de Schaffhouse et de Zurich, auxquels nous adres- 
sons ici l'expression de nos remercîments. 

H. DE M. 



LES 

APPAREILS D'INTÉGRATION. 



INTRODUCTION. 



Il semble que le désir de simplifier les opérations 
auxquelles donnent lieu les applications du calcul ait de 
bonne heure sollicité l'ingéniosité des inventeurs, puisque 
l'usage des planchettes à calcul était déjà courant chez 
les Grecs et les Romains. 

Le calcul numérique est en effet l'intermédiaire à l'aide 
duquel les données scientifiques prennent une réalité tan- 
gible ; sans lui, les théories les plus ingénieuses risquent 
de n'être jamais que des spéculations de l'esprit, capables 
de satisfaire seulement les aspirations d'un nombre rela- 
tivement restreint d'initiés. 

Le travail long et pénible qu'il nécessite a été l'origine 
de recherches nombreuses, en vue de créer des méthodes 
propres à en faciliter l'exécution. La plus célèbre est sans 
contredit celle que donnait il y a trois siècles le baron écos- 
sais Jean Néper, en imaginant les logarithmes el en ren- 
dant leur application pratique par la création de Tables. 

Depuis, de nombreuses méthodes de simplification ont 
été proposées. Elles ont fait l'objet d'une étude fort in té- 

DE M. I 



INTRODUCTION. 



ressante et très documentée due à M. d'Ocagne qui les a 
exposées dans son Ouvrage sur le Calcul simplifié. 

Les procédés de calcul mécanique y tiennent une large 
part. 

Créer une machine capable de fournir un résultat numé- 
rique par le jeu d'une combinaison purement mécanique, 
en réduisant au minimum le travail intellectuel de l'opé- 
rateur, est évidemment un problème fort séduisant; le 
rôle de celui-ci consiste alors simplement à fournir à la 
machine les données de la question, et à agir sur un 
mécanisme qui donne le résultat cherché par le seul jeu 
de ses organes. 

Ce furent naturellement les opérations les plus simples 
et partant les plus usuelles de l'arithmétique qu'on 
chercha tout d'abord à effectuer mécaniquement. Il était 
réservé à Pascal et à Leibniz de résoudre ce problème, le 
premier en créant une machine à additionner, le second 
une machine à multiplier ('). 

Actuellement l'usage de la machine à calcul sous toutes 
ses formes s'est considérablement développé, et le champ 
des applications s'étant de plus en plus élargi, on a cons- 
truit des appareils capables non seulement d'effectuer les 
opérations arithmétiques, mais aussi de résoudre les 
questions de l'Algèbre et de l'Analyse. 

On peut, suivant une classification généralement 



( x ) Il existe dans la collection du Conservatoire des Arts et Métiers 
plusieurs modèles de la machine de Pascal; celle de Leibniz, dont 
l'originale est conservée à la Bibliothèque royale de Hanovre, y est 
figurée par une série de photographies donnant des vues d'ensemble et 
le détail du mécanisme. 



INTRODUCTION. 



adoptée, ranger en trois catégories les appareils à cal- 
culer : 

i° Les machines arithmétiques; 
2° Les machines algébriques ; 
3° Les appareils d'intégration. 

Les instruments de cette dernière catégorie, les seuls 
dont il sera question dans cet Ouvrage, ont pris une grande 
importance à mesure que se sont développées les études 
nécessitées par la technique de Fart de l'ingénieur, et par 
suite les applications de calcul intégral. On sait que la 
méthode généralement employée consiste alors à établir 
une ou plusieurs relations différentielles dépendant des 
conditions imposées par le problème, et à intégrer ensuite 
les relations ainsi obtenues. 

Plus rarement, on peut se proposer de faire l'opération 
inverse, c'est-à-dire celle de la dérivation ; le calcul 
permet toujours d'obtenir facilement le résultat cherché, 
nous verrons d'ailleurs que la construction de dérivateurs 
ou différentiateurs n'est pas sans présenter de sérieuses 
difficultés de réalisation. 

Le premier problème, de beaucoup le plus fréquent, 
conduit au contraire à des calc^.- généralement compli- 
qués et toujours fastidieux par la longueur des opérations 
qu'ils nécessitent. Obtenir rapidement un résultat suffi- 
samment exact, tel est le but des appareils appelés inté- 
grateurs. Leur rôle est donc en définitive de donner la 
valeur numérique d'une relation différentielle. 

Le problème, ainsi posé, offre un champ considérable, 
«?tant donnée la diversité des types de relations [différen- 



4 INTRODUCTION. 

tielles qu'on est appelé à rencontrer dans les appli- 
cations. 

En fait le nombre des intégrateurs est aujourd'hui 
considérable. On les divise en deux catégories : 

Les intégrateurs simples dont le but est de déterminer 
la valeur numérique des intégrales de la forme 



y = 



ff{r)dx. 



Les intégrateurs composés qui intègrent les équations 
différentielles, c'est-à-dire qui permettent de déterminer 
la fonction^ définie par des relations de la forme 

as= /<*''>■ 

Les appareils de la première catégorie peuvent se sub- 
diviser eux-mêmes en plusieurs classes : 

a. Les planimèlres, donnant la valeur de l'intégrale 
I ydx, c'est-à-dire permettant de déterminer l'aire 

d'un contour fermé. 

b. Les intégromètres, donnant à la fois la valeur numé- 
rique de l'aire, du moment statique et du moment d'inertie 
d'une surface plane. 

c. Les integraph.es, traçant directement une courbe 
représentative de la fonction 



= jf{x)dx 



d. Les analyseurs harmoniques, destinés à fournir la 
valeur numérique des termes d'une série de Fourier. 



INTRODUCTION. 5 

L'origine de tous ces appareils est relativement récente 
€t ne remonte pas au delà du commencement du siècle 
dernier. Les premières recherches avaient pour but de 
simplifier les calculs nécessités par l'évaluation des sur- 
faces; le problème présentait un intérêt tout spécial dans 
îe cas des travaux auxquels donnèrent lieu les opérations 
•de l'établissement du cadastre. 

En 1827, Hoppikofer présentait un planimètre qui 
semble avoir été contemporain de plusieurs autres appa- 
reils du même genre, notablement perfectionnés dans la 
suite. 

Parmi les inventeurs qui s'attachèrent spécialement à 
l'étude des intégrateurs, il faut citer en première ligne 
A. Amsler qui envisagea la question de l'intégration 
mécanique sous une forme générale, et réalisa la construc- 
tion de nombreux appareils dont les plus connus sont : le 
planimètre polaire devenu d'un usage classique, et l'inlé- 
.gromètre donnant la valeur du moment statique et du 
moment d'inertie d'une surface plane ('). Amsler a éga- 
lement construit un planimètre servant à déterminer l'aire 
d'une surface sphérique, un appareil, le stéréographo- 
anètre, donnant l'aire d'un contour fermé dont on connaît 
la projection stéréographique, et un intégrateur composé. 

Dans la suite, différents me * 'es d'intégrateurs furent 
successivement réalisés par M. Marcel Desprez en France, 
J. et W. Thomson, Helle-Shaw en Angleterre. 



( l ) Amsler a publié ses travaux dans une brochure parue à Schafïhouse 
en i856 et depuis longtemps épuisée : Ueber die mechanisclie Bes- 
timmung des Flàcheninlialtes , der statischen und Tràgheitsmomente 
ebener Figuren, insbesondere iiber einen neuen Planimeter . 



INTRODUCTION. 



Vers 1878, Abdank-Abakanowicz en France a étudié 
spécialement la construction des intégraphes dont il a 
donné de nombreux modèles (*), et Boys, directeur de 
l'Ecole royale des Mines de Londres, imaginait vers la 
même époque un appareil du même genre. 

La construction des analyseurs harmoniques, nécessitée 
principalement par l'étude de TElectrotechnique, semble 
avoir été plus particulièrement en honneur à l'étranger; 
Lord Kelvin, Scharp, Henrici, Yule en Angleterre,. 
Boucherot en France, ont réalisé plusieurs appareils de 
cette classe. 

Les intégrateurs composés, d'une construction com- 
pliquée et d'un caractère de généralité beaucoup plus 
restreint que les appareils précédents, sont à l'heure 
actuelle encore peu nombreux. Les principaux travaux 
tentés dans cet ordre d'idées sont ceux de W. Thomson 
en Angleterre et celui de M. Michel Pétrovitch présenté 
en 1897 à l'Académie des Sciences. Plus récemment,. 
M. l'ingénieur général d'Artillerie navale Jacob a étudié 
des appareils destinés à l'intégration de certains types 
d'équations différentielles du premier ordre, et en outre 
un intégrateur permettant de résoudre sans calcul le 
problème du mouvement d'un point dans un milieu résis- 
tant, quelle que soit la nature du fluide constituant ce 
milieu. 

Dans ce qui suit, nous examinerons principalement les 
appareils dont l'usage est le plus courant. En première 



( l ) Abdank-Abakantnvicz a résumé ses travaux dans une brochu re- 
parue en 1886 : Les intégraphes et la courbe intégrale. 



INTRODUCTION. 7 

ligne se placent les planimèlres et les intégiomètres dont 
l'emploi simplifie considérablement les opérations qu'on 
a à effectuer dans les problèmes de résistance de matériaux, 
d'évaluation du travail des machines et tout spécialement, 
en architecture navale, dans les calculs de déplacement et 
de stabilité. 

Nous étudierons ensuite les intégraphes, en rappelant 
quelques-unes des principales propriétés des courbes 
intégrales, et les analyseurs harmoniques qui, malgré 
l'intérêt que peut présenter leur emploi dans beaucoup 
d'applications, sont encore assez peu répandus dans la 
pratique. 

Enfin nous indiquerons quelques-unes des solutions 
proposées relativement à la réalisation des intégrateurs 
composés. 



CHAPITRE I. 

LES PLANIMÈÏRES. 



Généralités. 

Soit C une courbe fermée rapportée à deux axes de 
coordonnées rectangulaires et dont l'équation est 

On sait que l'aire de cette courbe est donnée par la valeur 
de l'intégrale 

/ y dx, 

ctendue à la totalité du contour. 

Fig. i. 




Si une roulette se déplace de telle sorte que l'arc élémen- 
taire développé par sa circonférence soit constamment 



LES PLANIMETRES. 



égal ou proportionnel à ydx, la longueur totale de l'arc 
développé à la fin de l'opération permettra d'évaluer Taire 
de la courbe donnée. 

Il suffît, pour remplir ces conditions, que le dévelop- 
pement du chemin parcouru soit proportionnel à dx dans 
un rapport constamment égal à y. 

Si, par exemple, un disque tourne autour d'un axe zz' 
perpendiculaire à son plan d'un angle d§ proportionnel 




à dx pendant qu'une roulette de rayon p se déplace sui- 
vant un diamètre de façon que oa—y, le développement 
élémentaire sera 

p dm =. y d% = Ky dx, 

et le développement total p lu = K I ydx donne, par la 

connaissance de l'angle w dont a tourné la roulette, la 
valeur de F intégrale 



/ y dx. 



On obtient le même résultat en remplaçant le disque 
par un cône de révolution tournant autour de son axe. 



IO 



CHAPITRE 



Ce procédé s'est présenté naturellement à l'esprit des 
premiers constructeurs qui l'ont appliqué directement 
dans l'établissement de leurs appareils. C'est sur ce prin- 
cipe qu'ont été construits les planimètres dits à rotation. 

Au lieu de chercher à déterminer directement la valeur 

de l'intégrale iydx, Amsler a considéré deux courbes 

quelconques C, Q! et démontré que, si une droite AB de 
longueur constante / se déplace de telle sorte que le 
point A décrive la courbe C en revenant à son point de 

Fisr. 3. 




départ pendant que B se meut sur C, l'aire de la courbe C 
peut se mettre sous la forme 



-/ 



ds sina -+- K, 



ds étant un élément de longueur d'arc de la courbe C, et 
K une constante qui peut être nulle. 



LES PLANIMETRES. 



[ » 



Si alors une roulette est reliée à la tige AB et permet 
de déterminer Ja valeur de l'intégrale 



s 



ds sin x, 



le problème sera entièrement résolu. 

Ce principe, appelé principe de la tige de longueur 
constante, a été utilisé par Amsler dans la construction 
d'un nombre considérable de planimètres, qui eux-mêmes 
ont donné lieu dans la suite à de nombreuses-variantes. 

La partie essentielle de ces appareils, comme de la 
presque totalité des appareils d'intégration, est donc une 
roulette qui se déplace sur un plan ou une surface (géné- 
ralement une sphère), en étant soumise à la fois à un 
mouvement de roulement et de glissement. 



Roulette intégrante. — Considérons une roulette 
normale à un plan et se déplaçant à sa surface. 

Fig. 4- 

CL L \ 



\ 



Les différents mouvements qu'elle peut prendre sont : 

i° Un mouvement de roulement suivant son plan. 

La longueur de l'arc développé est alors égale au chemin 



12 CHAPITRE I. 

parcouru et l'on a pour l'arc élémentaire 

ds = p doi. 

2° Un déplacement dans une direction faisant un angle a. 
avec celle de son axe. 

On peut le décomposer en un mouvement de roule- 
ment aa K parallèle au plan de la roulette, et un mouve- 
ment de translation a K o! parallèle à son axe. 

Le premier, seul, produit sa rotation et l'arc développé 

est 

ds x = aa { = ds sin a, 

c'est-à-dire 

p di» = ds sin a, 

et, en intégrant, 

pu> = / ds sin a. 

L'angle dont a tourné la roulette est égal, à un facteur 
constant près, à l'intégrale 

ds sin a. 



/ 



3° Un déplacement dans la direction de son axe, il y a 
alors glissement sans rotation. 

4° Enfin, un pivotement autour de la normale au plan 
passant par le point de contact a. 

On voit donc que la relation 

p diti = ds s i n a 

est vraie pour toutes les valeurs de a et permet de déter- 
miner la valeur de l'intégrale 



/ 



ds sin a. 



LES PLANiMÈTRES. 1 3; 

Si, au lieu de se déplacer sur un plan, la roulette se 
meut sur une surface, les mêmes propriétés subsistent, 
pourvu que le plan de la roulette reste normal à la surface : 
On considère alors les déplacements infiniment petits du 
point de contact de la roulette dans le plan tangent à la 
surface en ce point. 

Les planimètres construits d'après le principe de la tige 
de longueur constante sont de beaucoup les plus nom- 
breux et les plus employés. Le plus simple est le plani- 
mèlre polaire que nous étudierons tout d'abord, car sa 
théorie a servi de point de départ à l'établissement de tous 
les appareils similaires. 

Planimètres à tige de longueur constante. 
Théorie. 

Considérons deux courbes C, G et une droite ADB de 
longueur constante dont les points A et D sont assujettis 
à se mouvoir respectivement sur G et G'. En B est fixée 
une roulelte intégrante dont l'axe coïncide avec AB. Quand 
la droile ADB se déplace, le point D décrivantla courbe G', 
la roulette se meut sur une courbe Y . 

Posons 

AD = l, BD = a, DD' =zds, BB' = ds', 

et désignons par a, c/J les angles que fait AB avec les 
courbes G' et T aux points D et B. 

L'aire élémentaire 4D A'D' a pour valeur 

[i 
(i) dX = l ds sina H do. 

i 



i4 



CHAPITRE 



Évaluons ds en fonction de ds' ; pour cela il suffit de 
projetersur uneperpendiculaireà AB le contourBDD'B'B; 
on a, en remplaçant les arcs DD', BB' par leurs cordes, et 




la projection de B'D' par l'arc de cercle de centre D' et 
de rayon «, ce qui revient à négliger des infiniment petits 
d'ordre supérieur au premier, 

ds sina = ds' sina' -h a do. 
Transportant dans (i), il vient 

dk = / ds' sin a' -f- ( al -+- —) do, 

€t, en intégrant, 

A = l I ds' sina' -+- ( al -4- — ) o -+- const. 

D'après ce que nous savons des propriétés de la roulette 
intégrante, / ds' sina' représente la longueur de l'arc déve- 



LES PLANIMETRES. 



loppé par un point quelconque de la circonférence de la 
roulette, c'est-à-dire pw : on a donc finalement 



(-?) 



Ipui -\- l al -\ J cp — f- const. 



La courbe G', au lieu d'être quelconque, peut être un 
cercle de centre O; c'est ce qu'on réalise pratiquement 
en articulant au point D la droite AB avec une seconde 
droite de longueur R et mobile autour du point O, qui 
est appelé le pôle (fig- 6). 

Si alors on décrit une courbe fermée G avec une pointe 
fixée en A et si le pôle est extérieur à cette courbe, 
l'angle o reprend la même valeur quand A est revenu à son 




point de départ; dans ce cas, = 0. Les aires autres que 
l'aire de la courbe considérée étant balayées deux fois et 
en sens inverse, on a finalement 

A = /peu, 

et l'angle to dont a tourné la roulette donne la valeur 
de A. 



CHAPITRE I. 



Si maintenant {fig '. 7 ) le pôle est intérieur à la courbe G 
décrite par le point A, cp varie de o à 2-; de plus l'aire 

Fig. 7. 




évaluée précédemment étant comprise entre la courbe et la 
circonférence du cercle polaire, il faut, pour avoir l'aire 



Fig. 8. 



V 




totale de la courbe C, ajouter celle de ce cercle, c'est-à- 
dire ttR 2 . 



LES PLANIMÈTRES. 17 

On a donc finalement 

A = /pu) -+- 2tt( al -+- — J -j-irR 2 , 

A = l0(M +7l(R 2 4-2tt/-h l 1 ). 



La quantité tt(R 2 -f- 2 aZ -f- / 2 ) représente la surface 
d'un cercle qui n'est autre que celui de rayon OA corres- 
pondant au cas où le plan de la roulette vient passer par le 
pôle. Pour cette position particulière, on a en effet (Jig. 8) 



OA = R 2 +2a/ + / 2 . 



Si le point A décrit la circonférence de ce cercle, la 
roulette se déplace normalement à son plan, son centre 
décrivant le cercle de rayon OB; elle ne tourne donc pas. 
On a alors 



et, pour la valeur de l'aire, 

A = ir(R2-4-2^+/ 2 ). 

Autre démonstration. — Soient deux courbes quel- 
conques C, G r et AB une tige de longueur constante s'ap- 
puyant en A. et D sur ces deux courbes; en B est fixée 
une roulette intégrante dont ''axe est dans le prolon- 
gement de la tige. 

Soit I la position du centre instantané de rotation. 

Le déplacement élémentaire de la tige, de AD en A'D', 
peut être considéré comme produit par sa rotation d'un 
angle infiniment petit do autour de I. 

On a alors 

dk = aire AA'D'D = aire MAA'— aire MDD', 

DE M. 2 



CHAPITRE I. 



et en assimilant ces surfaces à des triangles infiniment 
petits, ce qui revient à remplacer l'arc par sa corde, e'est- 



-HB=£ 




à-dire à négliger à la limite des infiniment petits d'ordre 
supérieur au premier, 



aire MAA' = MA' smdo 

i ï 



(/ + C+E)(i + fl + £- MH) 



sin do ( l ). 



MH est un infiniment petit du premier ordre; son produit 
par sin do sera du deuxième ordre, par conséquent négli- 
geable. 



(') MA' est égal en effet à A'D'+ B' D' -+- MB' = l -h a -h MB, et MB' 
différant de £ d'une quantité infiniment petite, négligeable puisqu'elle 
est multipliée par sin ofcp, on a bien 



MA' = l-\-a-hs. 



LES PLANIMÈTRES. 19 

On a donc 



de même 



• Wâ AI (/ + «-+- S) 2 • , 

aire MAA. = — sin rtcp ; 



aireMDD' = — '—IL sin^cp, 



et développant sin ota en série, on a pour d\ 

dK = [(£±£±0! _ (£i±0!] fa _<£_,_. 

ou, en négligeant û?© 3 ... infiniment petits d'ordre supé- 
rieur au premier, 

dk = [ h al \ dy -+- Izd'-o. 

Or £ <i© est l'arc infiniment petit qui représente le chemin 
développé par la circonférence de la roulette, c'est-à- 
dire p diù. 

On a donc finalement 

d\ = I H al\ dy -h Ip doi, 

et, en intégrant, 

A= Ipoj -h ( h al\ cp -H const. 

La courbe O est la directrice; on voit que la démons- 
tration précédente ne suppose aucune condition spéciale 
sur la nature de cette courbe. 

Supposons que la courbe C soit fermée et qu'on 
veuille évaluer son aire. Si C ne contient à son intérieur 
aucun point de la courbe C et si, lorsque A a fait un tour 
complet, D est revenu à sa position initiale sans avoir par- 



20 CHAPITRE I. 

couru complètement G quand celle-ci est fermée, <p a repris 

alors la même valeur. 

On a 

 = /pu>, 

et cette valeur de A représente l'aire de G. 

En effet la droite AD ( fig. i o ) a balayé la surface comprise 

Fig. io. 




àl'intérieurde lacourbeC, etenplusla surface limitée à C, C 
et aux deux courbes G, G', enveloppes des positions succes- 
sives de AD; mais cette dernière surface est parcourue 
deux fois et en sens inverse : finalement il ne reste donc 
que l'aire de la courbe C. 

Supposons maintenant que le point A décrive la 
courbe G comme précédemment, mais que C étant fermée, 
le point D la parcourt entièrement; quand la tige AD est 
revenue à sa position primitive, a a varié de 2tt, et l'on a 
pour la valeur de A 

A = /pco -+- ir(/ 2 -h lal). 

Si la courbe c' est extérieure à c (fig. n), l'aire A repré- 
sente la somme des aires de ces deux courbes. La partie 



LES PLANIMETRES. 



21 



hachurée comprise entre c,c ; , G, G' est parcourue deux 
fois et en sens inverse ; sa valeur ne figure donc pas dans A. 

Fig. ii. 




En désignant par a-, <r' les aires de c et c', on a donc 1 

A = /poo"-j- n:(/ 2 -i- lai) == î + ï'. 

Si c' est intérieure à c (^^". 12), la surface balayée par AD 
•est celle qui est comprise entre ces deux courbes. 

Fie. 12. 




On a alors 



A = /pou -f- tt( / 2 -h ial ) = a 



D'une façon générale, si les points A et D ont fait respec- 
tivement un tour complet sur c et c', quand la droite AD 
est revenue à sa position primitive, on a, suivant le sens 



11 CHAPITRE I. 

dans lequel ces courbes ont été parcourues, 

Remarque. — L'égalité z do = p dio , dans laquelle 
£ représente la distance du point de contact de la roulette 
au point H, c'est-à-dire au point où la tige touche son 
enveloppe, montre que, pour un déplacement élémentaire 
<io, diù sera nul en même temps que e, c'est-à-dire quand 
le plan de la roulette passe par le centre instantané de 
rotation : chaque fois que cette condition particulière se 
produit, la roulette pivote donc autour de son point de 
contact sans tourner. 

Position de la roulette. — Nous avons supposé, dans 
la théorie précédente, que l'axe de la roulette coïncidait 
avec celui du bras moteur. En réalité, pour des raisons de 
construction, il n'en est pas ainsi; mais il est facile de 
voir que les conclusions précédentes subsistent, si la rou- 
lette est reportée latéralement, pourvu que son axe reste 
rigoureusement parallèle à celui de la tige motrice. 

En effet, soient A la position de la tige motrice, B celle 
de la roulette, 1 celle du centre instantané de rotation. 

Quand l'ensemble a effectué autour de I une rotation 
élémentaire <r/cp, la roulette est venue en B' et a parcouru 
l'arc élémentaire 

BB'= m do. 

Son développement, projection de cet arc sur son plan, 
est 

BI do sina = BH do = i do. 



LES PLANIMETRES. 



23 



Supposons maintenant la roulette placée en B, sur une 
perpendiculaire en B au bras moteur et\Ie telle sorte que 
son axe reste parallèle à la direction HA. 



Fig. i3. 






.'/ 

L'arc parcouru pendant la rotation dv est alors 
B Â Bi = BJcfo 

et le développement correspondant de la roulette 
Bi 1 do sina' = B t H' dy = £ dv, 

quantité égale à celle trouvée dans le premier cas. 



DISPOSITIONS PRATIQUES DES PLANIMETRES. 

Dans la théorie du planimètre, nous n'avons fait aucune 
hypothèse spéciale sur la nature de la directrice C. Prati- 
quement, les courbes les plus simples à employer dans la 
construction des appareils sont évidemment la ligne droite 
et le cercle. Nous avons déjà vu que dans ce dernier cas 
il suffisait de relier la tige de longueur constante à une 
seconde tige, mobile autour d'un point fixe. 



M 



CHAPITRE I. 



Nous distinguerons donc parmi les appareils utilisant 
le principe de la droite de longueur constante : 

i° Les planimètres polaires ayant pour directrice une 
circonférence de cercle. 

2° Les planimètres linéaires dans lesquels la directrice 
est une ligne droite. 

3° Le planimètre de Prytz où la directrice est quelconque 
mais astreinte à être tangente à la droite de longueur 
constante, et le planimètre de Petersen dans lequel cette 
droite reste parallèle à une direction fixe. 



PLANIMETRES POLAIRES. 

Planimètre polaire d'Amsler. — (/est le premier 
appareil imaginé par Amsler en 1 854 ; il est remarquable 
par sa grande simplicité et la facilité de son maniement. 
Depuis sa découverte, il n'a subi que des perfectionne- 
ments de détails. 

Fig. 14. 




Il se compose (fig. 1 4) de deux liges articulées AB, BC. 
La tige AB (bras polaire) pivote autour du point A; la 



LES PLANIMETRES. 



25 



tige BG (bras moteur) porte à son extrémité C une pointe 
(traçoir) avec laquelle on suit le contour fermé dont on 
veut évaluer Taire. Cette branche se prolonge par une 
partie BH destinée à recevoir la monture de la roulette 
intégrante et de l'appareil compteur. 

Cette partie, la plus délicate de l'instrument, comprend 
{fig. i5) la roulette, en acier durci, à rebords saillants. Elle 



i5. 




est montée sur un axe dont le xtrémités, terminées en 
pointe, s'engagent dans deux coussinets portés par la 
monture. Cet axe, par une transmission de vis tangente, 
fait tourner un petit pignon à axe vertical dont les divi- 
sions se déplacent devant un repère fixe. 

Enfin, un vernier fixe est placé sur la monture et per- 
met d'apprécier les dixièmes de division. La roulette est 
divisée en 100 parties égales par des traits gravés sur cel- 



26 CHAPITRE I. 

luloïde blanc, et l'appareil est construit de telle sorte que 
le petit pignon tourne d'une division quand la roulette 
intégrante a fait un tour complet autour de son axe. Le 
petit pignon donne le premier chiffre du résultat, la rou- 
lette les chiffres suivants, et le vernier les fractions. La 
graduation varie d'ailleurs avec les différents modèles, et 
une instruction jointe à chaque appareil indique les unités 
à employer et la façon dont les lectures doivent être 
faites. 

Cette disposition de l'appareil enregistreur est celle 
qu'on rencontre dans la presque totalité des appareils 
d'intégration. 

Le pôle de l'instrument est constitué par une pointe 
sèche en acier, s'enfonçant dans le papier, ou mieux par 
un poids P au centre duquel se trouve une articulation 
servant d'axe de rotation au bras polaire (fig. 16). On 
évite ainsi de faire des trous sur la feuille du dessin. 

Fig;. 16. 




Les deux bras sont reliés par une articulation à genouil- 
lère construite de façon à éviter les ballottements. 

Le traçoir est une simple pointe d'acier dont la tête> 
formant poignée, est destinée à faciliter le parcours de la 
courbe. La maison Coradi emploie la disposition sui- 
vante : Une petite poignée est mobile autour de l'axe de 



LES PLANIMEÏRES. 



2 7 



la pointe et porte un support s reposant sur la feuille du 
dessin et réglable de telle sorte que la pointe du traçoir 
affleure le contour de la courbe sans la toucher. Le traçoir 
peut d'ailleurs, par une légère pression, être abaissé s'il 
est nécessaire de marquer des points de repère sur la 
courbe. 

Pour mesurer l'aire d'une surface, on place le pôle de 
telle sorte que le traçoir puisse parcourir tout le contour; 
puis, ayant noté le nombre indiqué par l'appareil enregis- 
treur, on parcourt la courbe aussi exactement que pos- 
sible dans le sens du mouvement des aiguilles d'une 
montre, et, une fois revenu au point de départ, on note 
de nouveau les indications de la roulette. Si alors le pôle 
est extérieur à la courbe, la différence des deux lectures 
donne la valeur de l'aire. 

Si le pôle a été pris intérieurement à la courbe, il faut, 
d'après ce que nous savons, ajouter une constante qui 
est indiquée pour chaque instrument. 

Planimètre à compensation. — C'est un pianimètre 
polaire disposé de façon à faire disparaître l'erreur pro- 

Fig. 17. 




venant d'un défaut de parallélisme, toujours possible, de 
l'axe de la roulette et de celui du bras moteur. 



■2 8 



CHAPITRE I. 



A cet effet, l'appareil (fig. 17 et 18), est construit de 
telle sorte que le bras moleur puisse passer sous le bras 
polaire, et être ainsi placé soit à droite, soit à gauche de 

Fig. 18. 



bras polaire >. 



S 



4- 



m. 



bras moteur 



celui-ci. En faisant deux opérations dans ces conditions, 
et en prenant la moyenne des résultats, il y a sensiblement 
compensation de l'erreur. 

Soient, en effet (Jig. 19), PA le bras polaire, A M la 




direction du bras moteur, AR celle de l'axe de la roulette 
faisant avec ce dernier l'angle s. 

AA' étant un élément de la directrice, la roulette enre- 



LES PLANIMETRES. 29 

gistre l'intégrale 

/ ds sin (ol — b), 

/ ds si n( a — e) = cose / ds sina — sine / ds cosa. 

Pour une position A M' du bras moteur, symétrique 
de AM par rapport à PA, on aura, pour la valeur de l'in- 
tégrale enregistrée par la roulette, 

/ ds sin A' AR' = / ds sin [7c — (a -h s)] 
ou 

/ ds sin(a -4- e) = cose / ds sina -+■ sine / ds cosa. 

La moyenne des deux résultats est donc 
A t = cose / ds sin a, 

et la différence avec le résultat cherché 

A — A t = / ds sin a — cos z I ds sin a, 
A — Aj = / ds sina(i — cose) = / ds sina ( 1 — 1 H h. 



Cette différence est donc de ] 'ordre de £ 2 , et par suite 
négligeable, e étant toujours très petit. 

Planimbtre à disque. — Dans le planimètre polaire 
que nous venons de décrire, la roulette repose directe- 
ment sur la feuille de dessin et est par conséquent sou- 
mise aux inégalités de celle-ci, surtout si l'on a affaire à 
de vieux plans plies. On évite cet inconvénient dans le 
planimètre à disque en faisant reposer la roulette inté- 



3o 



CHAPITRE I. 



grante sur un plateau mobile autour d'un axe vertical 
passant par son centre et entraîné avec le bras polaire. La 
précision est en outre augmentée, le développement de la 
roulette étant multiplié dans un rapport connu. 

L'appareil comprend (/%*. 20) un plateau circulaire P 

Fio-. 20. 




H-flSCHERX-A.ZCH 



sur le centre duquel repose le bras polaire A par l'inter- 
médiaire d'une articulation sphérique. Ce bras supporte le 
disque S qui est solidaire d'un petit pignon r ; celui-ci, 
en roulant sur une couronne dentée portée par P, entraîne 
la rotation de S autour de leur axe commun 0\ A l'extré- 
mité du bras polaire est articulée la tige motrice F qui est 
solidaire d'un cadre portant la roulette intégrante. L'axe 
de cette dernière est, par construction, parallèle à celui de 
la tige motrice. 

Désignons (fi g. 2i)par L la longueur AO du bras polaire, 
et soit ds la longueur de l'élément de courbe décrit par le 
point A (cercle polaire); pour une rotation db autour 
de O, on a ds = Lé/Q et le plateau S dans ce mouvement a 
tourné autour de O' d'un angle r/y, tel que 

«Y = — ■ — » 



r étant le rayon du petit pignon 



LES PLANIMETRES. 



Le déplacement élémentaire du planimètre peut être 
ramené à une rotation d§ du bras polaire autour de O, 

Fig. ii. 




suivie d'une rotation (do — cM) de la tige motrice autour 
du point A; or, par construction, le plan de la roulette 
passe par le point A; pendant cette seconde rotation, la 
roulette se déplacera donc tan^ntiellement à son axe BN 
et ne tournera pas. 

La rotation de la roulette sur elle-même est donc pro- 
duite par le seul déplacement d§ de l'ensemble autour 
de O. 

Le point de contact B de la roulette décrit dans cette 
rotation un chemin O'B dy et le développement corres- 
pondant est 

O'Brfysinp. 



32 CHAPITRE I. 

Or 

0'Bsin3 = O'G = 0'Asina = [L — (R-+- r)Jsina, 

et, remplaçant dy et d§ par leurs valeurs, 

0'Bc?Ysinp= [L — ( R -+-/•)] ^8 sina 
= [L — (R H- r)]—=- dssina; 

par conséquent, on a pour la valeur du développement de 
la roulette 



p doj = i ; — ds sin a, 

V L ) r 



et, transportant cette valeur de ds sin a dans la formule 
générale des planimètres, 

d\ = l ds sin a -\ û?cp, 

^ A = *P 5-7 d r ■+- — «*Pi 

R / Rh- r \ 2 

i 



r V L 

d'où, en intégrant, 



to /2 

A — / - 1 o -+■ const. 

1 R / R -h /* \ 2 T 



s l -"I 



Gomme précédemment, il y a deux cas à distinguer : 
i° Si le pôle est extérieur à la courbe, reprend la 

même valeur, quand le traçoir a décrit tout le contour de 

la courbe. On a alors 



A = lo 



R / R + r 

7 '--ï^ 



2" Si le pôle est intérieur à la courbe, © varie de o 



LES PLANIMET-RKS. 



33, 



à 27i, et la surface du cercle polaire n'ayant pas été 
balayée par le bras moteur, il faut ajouter son aire wL a , 
ce qui donne pour la valeur de A 



h 



R / R-f 

7 V 1 - — 



7t(L2+/2); 



t:(L 2 -1-Z 2 ) représente la surface du cercle de base. Si le 
traçoir décrit sa circonférence, le plan de la roulette 
passe par le pôle, et celle-ci ne tourne pas. Si l'on com- 
pare l'expression du rayon de ce cercle dans le cas du 
planimètre à disque et dans celui du planimètre polaire 
d'Amsler, où sa valeur est y/L--f-/ 2 -f-2a/, on voit que 
dans le premier le terme i al a disparu, puisque, le 
plan de la roulette passant constamment par A, a est 
nul. Cette disposition est favorable aux réductions de 
glissement. 

L'appareil que nous venons de décrire est construit par 
la maison Coradi. 

Dans d'autres modèles (fig. 22), on a conservé le dispu- 
ta i^. 22. 




sitif adopté par Amsler lui-même. La couronne dentée du 
plateau polaire est supprimée. Le bras polaire porte alors, 

DE M. 3 



3i 



CHAPITRE I. 



près de son articulation avec le bras moteur, un galet 
conique roulant sur la feuille de dessin quand l'appareil 
tourne autour du pôle. Ce galet produit la rotation du 
plateau S par un système d'engrenage entraînant un petit 
pignon fixé sur l'axe de ce plateau. Le contact de ce der- 
nier avec la roulette intégrante est assuré par un contre- 
poids. Le principe et le fonctionnement de l'instrument 
sont les mêmes que dans le cas précédent. 



PLANIMETRES LINEAIRES. 



Nous avons vu que dans ces planimètres, la courbe 
directrice n'est plus un cercle, mais une ligne droite. 
Les instruments de cette catégorie seront constitués par 



Fi" 23. 




•un chariot se déplaçant parallèlement à la directrice, et 
par une tige de longueur constante portant à une de ses 
extrémités un traçoir et articulée à l'autre en un point du 
chariot. 

Reprenons la formule des planimètres 

l- 
dA = l ds sin a -h — dcp , 



LES PLANIMETRES. i'J 

«et supposons que le point A décrive l'axe des 3?; on a 
à chaque instant 

ds = dx, y = l sin a, 



donc 



dX = y dx H afo , 



■«et, pour un contour fermé, 

A = / / ds sin a = /. y dx. 

Si le point A, au lieu de décrire l'axe ox, se déplace 
=sur une droite qui lui soit parallèle, on a 

l sin a = y ± a, 

l- 

dk = (y ± a) dx -+- — d®, 

-et, lorsqu'on est revenu au point de départ, 
A = / y dx, 

adx étant nul, puisque x reprend la même valeur. 



/• 



Planimètre roulant à sphère. — Ce planimètre, repré- 
senté dans son ensemble {fig. 24), se compose d'un 
chariot B reposant sur deux, rouleau* IV, R/, montés sur 
le même axe. Leurs jantes sont pourvues de stries, de 
telle sorte que l'appareil se déplace constamment dans la 
direction perpendiculaire à l'axe des rouleaux. 

L'un d'eux porte une denture extérieure en retrait sur 
la jante, engrenant avec un petit pignon fixé sur l'axe 
portant le segment de sphère K. 



CHAPITRE 



Le bras moteur FM est mobile dans un cadre pratiqué 
dans la traverse formant la partie principale du chariot. 



Fis;, il 




Un cadre M fixé au bras porte à sa partie supérieure le 
cylindre qui reste constamment langent à la sphère et 
commande d'autre part l'appareil enregistreur. 

11 résulte des dispositions précédentes que, si l'on désigne 
Çfig* 2 et 26) par /• le rayon du pignon p, par a celui 
de la sphère et par dr la rotation autour de son axe, lorsque 
l'ensemble a parcouru un chemin 

[ds = dx = R dO, 

le segment de sphère a tourné autour de son axe de dy, 
tel que 

d\> = -db. 
r 



LES PLANIMÈTRES. 3? 

Or, dans cette rotation, le point de contact t du cylindre 
et de la sphère a subi, sur la circonférence du petit 
cercle tt\ un déplacement élémentaire égal à 

a si n a dy. 
Fia:. 2,5. 




Le cylindre entraîné par la sphère a tourné de dio ; et, 
s'il n'y a pas eu glissement, on a 

o du) = a sina <a?y, 

p dto — a sin a— <i6 = — cfo sina. 
r r r 

Transportant la valeur de ds sin y, dans la formule des 
planimètres, on a 

r / 2 

a? A = p / — û?oj H afo, 

1 <r 2 ! 



ou 



A = p/-wH cû-f-consL, 



-et pour un contour fermé, ® reprenant la même valeur, 



A = p / — (o . 
1 et 



Ce planimètre présente, par rapport aux appareils pré- 



38 CHAPITRE I. 

cédents, l'avantage d'avoir des lignes de glissement nota- 
blement réduites. 

Fiff. 26. 




11 n'y a glissement que dans deux cas : 

i° Si l'on fait parcourir au traçoir une circonférence de 
rayon /, les rouleaux ne se déplaçant pas, le cylindre 
enregistreur ne tourne pas autour de son axe, mais iF 
pivote autour du point o de l'axe de la sphère ; ce point 
s'éloignant du centre de cette sphère, il se produit un, 
léger glissement et le cadre du cylindre se soulève légère- 
ment. 

'2° Lorsque le bras moteur est normal à l'axe des rou- 
leaux, si l'axe du cylindre et celui de la sphère ne se 



LES PLANIMÈTRES. 39 

renconlrent pas exactement et sont à une distance d, il se 
produit un glissement sur la circonférence du petit cercle 
de rayon d. 

Planimètre linéaire à disque tournant. — Gomme 
dans le planimètre polaire à disque, la roulette intégrante 




est entraînée par la rotation d'un plateau sur lequel elle 
repose directement et qui tourne autour d'un axe per- 
pendiculaire à son plan et passant par son centre. 

L'appareil comprend (Jig. 28) un chariot portant l'axe 
du disque s et monté sur deux roues R, R/ à rebords 
minces. 

Tout l'ensemble se déplace le long d'un cadre reposant 
sur le dessin et formé de deux traverses parallèles. La 
traverse inférieure ï porte une rainure servant de che- 
min de roulement aux deux roues R, R'. La traverse 
supérieure T ; est munie d'une crémaillère sur laquelle 
engrène un petit pignon p monté sur l'axe du disque et 
entraînant celui-ci dans le mouvement de translation du 
chariot. 

Le plan de la roulette passe par le point A d'articula- 



4> 



CHAPITRE I. 



tion de la tige motrice avec le chariot; il en résulte 
qu'elle se déplace normalement à son plan, sans tourner, 



Fis?. 28, 



T* 




H-HUIIIIIIIJIIIIIIIIIIIIIim 


R P' 


s _R' 


( \ 


r \ 


T L ) 






si le bras moteur pivote autour de A. On peut donc 
ramener le déplacement élémentaire du planimètre à une 
translation entraînant la rotation du disque et, par suite, 
celle de la roulette autour de son axe, et à une rotation dv 
du bras moteur pendant laquelle celle-ci ne tourne pas. 
Lorsque le cliariot s'est déplacé de dx, le plateau a 
tourné de <iy, tel que 

dx = r û?y, 

r étant le rayon du petit pignon. La roulette a tourné 
de Jto, tel que 

p d'ji = O'E d*{ sinfi. 
Or 

0'Esin3 = O'D = 0'Asina. 



LES PLANIMÈTRES. 4 F 

On a donc 

p dio = O'A sina dy = dx sinot, 

dx sin a = -^-r p ûfco, 

et transportant cette valeur de dx sin a dans la formule 
dk = / «fa si n a H ûfo , 



I vient 



<f A = --7— /- do) h dy, 

O A 2 T 

/o l 2 

A = — -p- rco h c? -+- const. 

O A 2 ' 



et, si l'on suit une courbe fermée. 



o A = <fe™- 



Remarque. — Cette théorie est identique à celle du 
planimètre polaire à disque, et il est facile de vérifier que 
la valeur de A dans ce planimètre se réduit à l'expres- 
sion ( 1 ), si l'on suppose que, le pôle s'éloignant à l'infini 
dans la direction AO', L et R nugmentent indéfiniment. 

En effet, dans ce cas, la circonférence du disque polaire 
devient à la limite une droite perpendiculaire à AO', et 
l'on a 

_ /pto _ lorto _ /prco 

AO' étant la distance du centre du disque au point d'ar- 
ticulation du bras moteur. 



I\1 CHAPITRE I. 

Si R et L augmentent indéfiniment, A a pour valeur 

à la limite 

lo r m 

~txy" 

On retrouve l'expression ( i ). 

La longueur du chemin que peut parcourir l'appareil 
est limitée par les dimensions du cadre portant la cré- 
maillère et la rainure de roulement. Avec le planimètre à 
sphère, on peut, au contraire, mesurer en une seule fois 
l'aire d'une courbe présentant un développement quel- 
conque dans la direction suivant laquelle se déplace le 
chariot. 

Dans un modèle construit par Amsler, la traverse infé- 
rieure du cadre portait la crémaillère; dans la traverse 
supérieure était creusé le chemin de roulement du cha- 
riot auquel était suspendu l'appareil. 

La maison Coradi construit un planimètre linéaire 
spécialement destiné à évaluer Taire des surfaces qu'on 
rencontre dans l'étude des problèmes de déplacement 
et de stabilité en construction navale. Il se compose d'un 
chariot s'accouplant comme un bras polaire à un plani- 
mètre à compensation ordinaire. L'ensemble, chariot et 
planimètre, se meut dans une longue règle à rainures 
qu'on dispose parallèlement à la grande dimension du 
plan. 

PLANIMÈTIU: DE PRYTZ. 

Le planimètre imaginé en 1886 par le capitaine Prytz r 
de l'armée danoise, est remarquable par son extrême sim- 
plicité et la commodité de son emploi. Une lige métal- 



LES PLANIMÈTRES. 



43 



lique, recourbée à angle droit à ses deux extrémités, 
constitue tout l'appareil; l'une d'elles est aplatie en lame 
coupante formant hachette, l'autre se termine par une 
pointe mousse. 

La distance du point A au point de contact de la tan- 

Fig. 29. 



-O 



L -. 25 



gente à la hachette en son milieu est la base de l'instru- 
ment; cette longueur est d'environ 20 cm . L'appareil étant 
maintenu dans un plan vertical, si l'on suit avec la 
pointe A le contour d'une courbe, le tranchant de la 
hachette trace un sillon sur la feuille de papier et ne subit 
pas de déplacement latéral sans un effort appréciable. Dans 
le mouvement continu de A sur la courbe, le point de 
contact B de la hachette décrit par suite une courbe E à 
laquelle la droite AB est constamment tangente. 

Les deux courbes sont liées entre elles par certaines 
conditions. 

Fie:. 3o. 




La courbe C étant donnée, la courbe E peut être consi- 
dérée comme le lieu des points B, tels que la droite AB 



CHAPITRE I 



touche constamment son enveloppe en ce point; son 
mouvement se réduit alors à une translation et à une rota- 
tion élémentaires. 

Fig. 3i. 




Réciproquement, si l'on connaît la courbe E, on 
obtient G en portant sur chaque tangente et à partir du 
point de contact une longueur BA égale à /. Le lieu des 
points A ainsi obtenus est la courbe cherchée. 



LES PLANIMÈTRES. 45 

Mais il est évident qu'à chaque courbe C correspond 
une infinité de courbes telles que E dont la forme et la 
position dépendent de l'origine du point A sur C et de 
l'orientation initiale de AB. 

Quelles que soient d'ailleurs leurs positions relatives, les 
deux courbes présentent certaines particularités résultant 
de la façon dont elles se déduisent l'une de l'autre. 

Si la droite AB {fi g. 3i) est normale en m à la courbe G 
et si la concavité est du côté opposé à AB, la courbe E 
présente, en général, un point de rebrou ssement où les bran- 
ches de courbe ont la position indiquée par la figure (a). 

Si la concavité est tournée vers AB, les deux branches 
aboutissant en B auront la forme de la figure (^), et si, 
sur une certaine étendue, la courbe C se confond avec la 
circonférence de centre B et de rayon AB, la courbe E 
présente en B un point anguleux où l'angle des tangentes 
est l'angle au centre de Tare de cercle ad (Jig. y). 

Enfin, on peut encore remarquer que, si la droite AB 
est tangente en m à la courbe G, la courbe E présente, en 
général, un point d'inflexion en B. 

Théorie de V appareil. — T} résulte de ce qui précède 
que Je planimètre se réduit à une tige de longueur con- 
stante s'appuyant sur deux courbes, dont l'une, la 
courbe E, joue le rôle de directrice. 

Reprenons la formule générale 

dX = l ds sin an — l 2 do. 
i 

La droite A<B, (ftg. 02) traçant sa propre directrice à 
laquelle elle est constamment tangente, on a sina = o r 



46 CHAPITRE I. 

et la formule précédente se réduit à 



xl'où, en intégrant, 



2 



A = -/ 2 CD, 

1 l 



la constante étant évidemment nulle ( ' ). 

Fiff. 32. 




On peut dès lors se rendre compte assez simplement 
du principe de l'appareil de la façon suivante : 

Plaçons la pointe A {fi g. 33) en un point quel- 
conque m de G et faisons lui parcourir le contour dans 
le sens de la flèche. Le lieu des points B, de contact de la 
hachette avec son enveloppe, va être une courbe telle que 



( l ) On peut d'ailleurs calculer l'aire A directement de la façon sui- 
vante : 

Soient A^,, A 2 B., deux vecteurs infiniment voisins, faisant entre eux 
l'angle dy. L'aire élémentaire peut, aux infiniment petits du troisième 
ordre près, être remplacée par celle du secteur de cercle de rayon / et 
d'angle dv. Sa valeur est 

d\ = -Fdv 

2 

et, en intégrant, 

» étant l'angle des deux positions extrêmes de AB. 



LES PLANIMETRES. 



47 



B, E, E 2 B 2 avec des points de rebroussement en E,,E 2 
■correspondant aux positions pour lesquelles AB est nor- 
male à la courbe G. 

Fig. 33. 

A 




Lorsque la pointe A est revenue à son point de départ 
après avoir fait un tour complet, la droite AB occupe la 
position AB 2 et a tourné d'un angle o par rapport à AB,. 

D'après ce que nous savons, l'aire balayée par la 

droite AB est égale à -l 2 o. 

Or, il est facile de voir que l'aire en question se réduit 
à celle du contour G, que nous désignerons par S, et à 
celle qui est comprise entre AB,, AB 2 et la courbe 
B, E, E 2 B 2 : soit 2 ; cette dernière. 

Toutes les autres partie» du plan, balayées par la 
droite AB, le sont deux fois et en sens inverse; la valeur 
<le leur aire ne figure donc pas dans le résultat final de 
l'opération. Or, si l'on prend comme sens positif celui 
dans lequel est balayée l'aire £ (sens de la flèche), 1/ le 
sera en sens inverse; on doit donc prendre cette dernière 
avec le signe — et l'on aura 



<0 



S' = - /s 



4& CHAPITRE I. 

Pour évaluer S 7 , traçons l'arc de cercle B, B 2 de centre A 
et de rayon /. On détermine ainsi deux surfaces com- 
prises entre cet arc et la courbe B, E, E 2 B 2 : soient a-, et <7 2 . 
leurs aires. On a 

S'= -/2 ÇH _ ff ff 

2 ' 

et transportant cette valeur de S' dans (i), il vient 

Le principe de l'appareil consiste à supposer que les 
aires a-,, <7 2 sont égales; l'expression de S se réduit alors à 

Or, / 2 <p, qu'on peut écrire lx lo, représente le produit 
des nombres qui mesurent la base du planimètre et la 
longueur de l'arc B, B 2 . Dans la pratique, on obtient un 
résultat très suffisamment exact en prenant, non pas l'arc, 
mais la corde B, B 2 . 

Pour faire usage du planimètre, il suffit donc de placer 
la pointe A en un point quelconque du contour et d'effec- 
tuer un parcours complet. On repère les points B,, B 2 
correspondant aux points de départ et d'arrivée, ce qu'on 
fait en appuyant légèrement sur la hachette: le pro- 
duit de la longueur de l'appareil par la distance B, B 2 
donne l'aire cherchée. 

Le point de départ peut être pris, en principe, quel- 
conque sur la courbe G; mais, comme nous savons que la 
forme de la courbe E dépend de l'orientation initiale de 
la droite AB, la position de cette dernière n'est pas com- 
plètement indifférente. 



LES PLANIMÈTRES. 49 

Il faut, en général, s'arranger de façon que la normale 
à AB, au point choisi, partage la figure en deux parties 
équivalentes. 

Pour qu'on puisse se servir de l'appareil, il faut que la 
plus grande dimension de la figure ne soit pas supérieure 
à la moitié de la longueur AB. Si Ton ne peut effectuer la 
mesure en une seule fois, on divise par des lignes droites 
la surface en plusieurs parties, et, après avoir déterminé 
l'aire de chacune d'elles, on fait la somme des résultats. 

Dans la pratique, pour éliminer les causes d'erreur, on 

Fig. 34. 




retourne la figure de 180 , et l'on recommence l'opération 
en partant du même point et en faisant en sens opposé un 
tour complet sur la cour 1 G. On prend ensuite la 
moyenne des deux résultats. 

Au lieu de prendre le point de départ sur le contour 
lui-même, on peut le choisir à l'intérieur de la surface. 
C'est la méthode employée par l'inventeur lui-même dans 
la théorie qu'il a donnée de son appareil. 

On obtient alors la disposition de la figure 34, et l'on a 
comme précédemment 



S = / 2 Ç> -f- 0"! — <7 2 . 



DE M. 



5o CHAPITRE I. 

En supposant o-, — <r 2 , ^ vient 

Pour que la condition cr, r=o- 2 soit réalisée, on démontre 
que le point de départ doit être dans le voisinage du 
centre de gravité de la surface G. 

PLANIMETRE DE PETERSEN. 

Dans la formule 

/ 2 
dA = l ds sin an do, 

i ' 

au lieu d'avoir sina — o (cas du planimètre de Prytz), on 
peut supposer afo = o; la droite BG, de longueur con- 
stante, se déplace alors parallèlement à elle-même. G'est 
d'après ce principe qu'a été construit le planimètre de 
Petersen. On peut le rattacher à la catégorie des plani- 
mètres polaires et il présente cette particularité de ne 
pas avoir de roulette intégrante. 

Sa disposition est la suivante : une tige OA peut servir 
de bras polaire, le pôle étant en O, et le point A décrivant 
la directrice. Une seconde tige BC, articulée en A à la pre- 
mière, porte en G le traçoir destiné à parcourir la courbe. 
L'extrémité B est solidaire d'un manchon qui peut se 
déplacer, à frottement doux, sur une tige graduée RR', 
perpendiculaire à BC. Gette tige sert d'axe de rotation à 
deux rouleaux à jantes larges; par suite, elle ne peut 
que se déplacer parallèlement à elle-même. 

Quand le traçoir suit la courbe, l'axe RR' se déplace 



LES PLANIMÈTRES- 5l 

■donc sous l'action des tiges OA et AB, et le manchon B 
coulisse sur RR'. 



R' 




Si l'on considère l'égalité 

dX = l ds sina, 

on remarque que ds sin a, projection sur la direction RR' 
de l'élément de directrice as, est égala dx, quantité dont 
s'est déplacé le manchon. 

Donc 

dA = / dx, 

A = Ix -h const., 

A. ^ = LyX i — Xq j , 

x K et x étant les lectures faites au commencement et à 
la (in de l'opération; ces dernières se font à l'aide d'une 
graduation portée par ia tige RR'. 



52 



CHAPITRE I. 



Planimètres à rotation. 



THEORIE. 



Considérons un cône de révolution d'angle au sommet 
égal à 2 a, et dont l'axe est incliné de a sur le plan du 
dessin, de telle sorte, par conséquent, que sa génératrice 
supérieure SA se trouve être parallèle à ce plan. 

Transportons ce cône parallèlement à lui-même en le 

Fi*. 36. 




faisant tourner autour de son axe par l'intermédiaire 
d'un pignon de rayon /'roulant sur un rail parallèle à l'axe 
des x ; un point quelconque M de la génératrice SA décrira 
sur le parallèle MM' un arc élémentaire 

dr 
OM^8 = SMsina — , 
r 

d§ étant l'angle dont a tourné le cône pendant le déplace- 
ment élémentaire dx. 

Si maintenant une roulette R a son axe parallèle à SA 
et accompagne le déplacement du cône en se mouvant sur 
la génératrice SA, de telle sorte que SM soit constam- 
ment égal à y, elle tournera, s'il n'y a pas glissement 



LES PLANIMÈTRES. 53 

dans son plan, d'un angle du, tel que 

. 7 sina 

p dm = y dx 



r 



On tire de là 



, , sina 
du> = y dx 

P'' 



C , sina 
/ y dx 

/ J or 



L'angle dont a tourné la roulette permet donc d'évaluer 
l'aire d'une courbe comprise entre deux limites données. 

On peut réaliser la condition SM=j r en suivant la 
courbe avec un traçoir invariablement relié à l'axe de la 
roulette, et en s'arrangeant de telle sorte que l'ordonnée 
de cette courbe soit, au début, égale à la distance de la 
roulette au sommet. 

La théorie précédente subsiste si l'on suppose que a 

^devienne égal à -. La surface du cône se réduit alors à un 

cercle qui, en se déplaçant parallèlement à °ox, tourne 
autour d'un axe vertical passant par son centre. 
On a alors 



= -J ydx. 



Remarque. — Le lieu du point de contact de la rou- 
lette sur la surface du cône est une courbe qu'on peut 
tracer à laide d'un appareil enregistreur. Il est facile de 
voir que la connaissance de cette courbe permet de déter- 
miner la valeur du moment statique et du moment d'inertie 
«de la courbe proposée, par rapport à ox. 

Développons la surface du cône. On obtient (Jîg. 3^) 



CHAPITRE I. 



un secteur circulaire d'angle au sommet w == 27zsina, et 
limité par un arc de cercle de longueur L = toD, D étant 

Fig. 3;. 




la longueur de la génératrice SA. La trace de la roulette 
se développe suivant une courbe C, et deux génératrices 
infiniment voisines ont pour trace, dans le développe- 
ment, deux rayons vecteurs Sm, S m' faisant entre eux 
l'angle do. 

L'aire élémentaire S mm' a pour expression 

d -Ào = — dy . 

2 J 

Or p =y\ de plus do est proportionnel à dx ; en effet,. 
Tare élémentaire mm' a pour valeur 

ds = p do et ds = OM d§. 
Donc 

p dy '= OM <a?0 = p sina afô, 

«ftp = sina dd. 
d§, rolation élémentaire du cône, est proportionnel kdx; 



LES PLANI MÈTRES. 55 

par conséquent 

<icp = sin a X dx = K dx, 

et l'on a finalement 

dA> = K — dx, 



A 2 



dx = KM ox (aire A), 



les limites d'intégration s'étendant à la totalité du déve- 
loppement de la courbe C. 

Donc, le moment statique de l'aire de la courbe proposée 
par rapport à ox est mesurée, à un facteur constant près, 
par l'aire X de la courbe C. 

Prenons maintenant le moment statique polaire de 
l'aire X de cette même courbe G par rapport à S : on a 

dO\l s = —dy x Jp, 
dDXL's = 4r sin a X dx — K ^— dx, 
et, en intégrant, 

? -d<? = K ^-dx = Kl ox (aire A). 

M, ^ «Al, J 

Le moment d'inertie de la courbe A par rapport à ox est 
donc mesuré, à un facteur constant près, par le moment 
statique, par rapport à S, de l'aire X de la courbe C. 

Dans le cas où a= -■> c'est-à-dire si l'on a affaire à un 

2 

plateau circulaire, toutes les conclusions précédentes 
subsistent. 

Etant donnée une courbe A, on pourrait donc, par ce 



56 



CHAPITRE I. 



mojen. déterminer la valeur de son aire, de son moment 
statique et de son moment d'inertie par rapport à oj, 
mais on est obligé d'effectuer trois opérations. Il vaut 
donc mieux employer un intégromètre qui permet de 
mesurer, en une seule fois, ces trois quantités. 



PLANIMETRE D HOPPIKOFER. 



Imaginé vers 1827 par l'ingénieur suisse Hoppikofer, 
cet appareil était une application directe du principe cône 
et roulette, que nous venons d'étudier. 

Il se compose essentiellement d'un cône en bronze 
(ftg. 38) dont la génératrice supérieure est horizontale. 

Fig. 38. 




L'axe de ce cône repose par l'intermédiaire de deux cous- 
sinets sur les supports d'un chariot A, qui peut recevoir 
un mouvement de translation perpendiculaire à la généra- 



LES PLANIMÈTRES. 5j 

trice horizontale. Ce chariot se déplace à l'aide de galets g" 
et de roulettes sur un chemin de roulement constitué par 
un rail et une bande métallique. 

Sur le chariot repose une tige T, qui peut coulisser 
parallèlement à la génératrice horizontale du cône et 
porte, à son extrémité droite, une poignée et, à son extré- 
mité gauche, une pointe destinée à suivre le contour de 
la courbe. Celte tige est en outre reliée invariablement à 
un cadre supportant la roulette R et un appareil comp- 
teur, le tout étant disposé de telle sorte que le point de 
contact de la roulette se trouve toujours sur la génératrice 
horizontale. 

Enfin, l'axe du cône porte un petit pignon /?, pouvant 
rouler sur une bande métallique parallèle au chemin de 
roulement du chariot. 

Il résulte des dispositions précédentes que, si l'on déplace 
ce dernier parallèlement à l'axe des se, le pignon p fera 
tourner le cône autour de son axe de 6/8, tel que 

d% = K dx. 

Si, avec la pointe de la tige mobile, on suit, pendant ce 
mouvement, le contour de la courbe, on voit que la dis- 
tance du point de contact de la roulette au sommet du 
cône sera constamment égale à l'ordonnée y, si l'on s'est 
arrangé de telle sorte que cette condition soit remplie 
dès le début de l'opération. 

Donc, d'après ce qui a été établi précédemment, la 
rotation de la roulette permet de mesurer l'aire de la 
courbe donnée. 

L'appareil est complété par un compteur disposé de la 



58 CHAPITRE I. 

façon suivante : deux cadrans, l'un horizontal, l'autre 
vertical, sont fixés au même support que l'axe de la rou- 




lette. L'aiguille a, du premier est entraînée par un petit 
pignon p { fixé sur son axe et engrenant avec une den- 
ture de la roulette. 

L'aiguille a 2 du second, ayant son axe parallèle à celui 
de la roulette, est mise en mouvement par un pignon p 2 en 
prise'avec une roue dentée portée par l'axe mm! de celle-ci. 

Ce planimètre fut un des premiers qui permit d'obtenir 
des résultats vraiment pratiques, et il obtint, sur la pro- 
position de Poncelet, le prix de Mécanique de l'Académie 
des Sciences. Néanmoins, malgré son principe simple et 
ingénieux, son emploi ne s'est pas généralisé. On lui a 
reproché son manque de précision et une usure trop 
rapide de la roulette. 

Il a été modifié par Ernst et le général Morin, mais il 



LES PLANIMETRES. 



59 



n'offre plus qu'un intérêt historique. Un modèle figure 
dans la collection du Conservatoire des Arts et Métiers. 



PLANIMETRE DE WETLI. 



Welli a construit un certain nombre d'appareils utili- 
sant le principe du plateau circulaire et de la roulette. Ils 
sont disposés en général de la façon suivante : 

Le plateau horizontal P peut tourner autour d'un axe 

Fig. 40. 




vertical porté par un chariot qui se déplace, à l'aide de 
trois roues, sur des rails parallèles à l'axe des y. Une 
tige T, montée sur ce chariot, coulisse perpendiculaire- 
ment à la direction du chemin de roulement et porle, fixé 
à ses deux extrémités, un fil qui s'enroule autour de l'axe 
du plateau; cette tige est en outre munie d'un Iraçoir 
destiné à suivre le contour de la courbe. 



60 CHAPITRE 1. 

Si donc, à l'aide de ce traçoir, on suit le contour d'une 
courbe donnée, le chariot se déplace parallèlement à oy, 
pendant que la tige, dans son mouvement de transla- 
tion dx parallèle à ox, fait tourner le plateau P d'un 
angle d§ proportionnel à dx, 

d§ = K dx. 

L'axe de la roulette R est porté par un cadre mobile 
autour de tourillons t, t' fixés au socle portant le chemin 
de roulement de l'appareil. La roulette ne se déplace donc 
pas et tourne seulement autour de son axe, lequel passe 
par le centre du plateau. Un compteur ordinaire indique, 
à l'aide d'une transmission par vis sans lin, l'angle dont 
elle a tourné. 

En prenant comme axe des x une droite parallèle à la 
tige et passant par la projection horizontale du point de 
contact de la roulette sur le dessin , on voit que Vy de la 
courbe est constamment égal à la distance de l'axe des x 
au centre du plateau, augmentée d'une quantité égale au 
rayon de l'axe. 

D'après ce que nous savons, le nombre de tours de la 
roulette donne, à une constante près, l'aire de la courbe. 

Ces appareils présentent le même inconvénient que les 
planimètres d'Hoppikofer. Le plateau supporte en effet 
le poids de la roulette et celui d'une partie du cadre 
mobile autour de £, t' ; ce poids étant concentré au point 
de contact, c'est-à-dire sur une surface très réduite, il en 
résulte une usure rapide de la roulette, due au glissemen 
qui se produit parallèlement à son axe, dans le mouve- 
ment relatif par rapport au plateau. 



LES PLANIMETRES. 



6r 



Le planimètre de Wetli, construit à Zurich en 1849, a 
été décrit par Stampfer dans les Comptes rendus de V Aca- 
démie des Sciences de Vienne en i85o. Il a été modifié 
dans la suite par Starke et Hansen; Ausfeld de Gotha a 
construit également un appareil du même type, dont il 
existe un modèle dans les galeries du Conservatoire des 
Arts et Métiers. 



PLANIMETRE DE RICHARD. 



La maison Richard a établi un planimètre destiné à 
Fig. 41. 




évaluer les aires des courbes à ordonnées curvilignes 
fournies par les appareils enregistreurs qu'elle construit. 
Les indications données par ces appareils se traduisent 



6'2 CIIVPITRE I. 

par une courbe qu'an style trace sur une feuille de papier 
enroulée sur un cylindre tournant. Les abcisses sont 
comptées sur une circonférence du cylindre ; les ordonnées 
sur des courbes qui, par développement, se transforment 
en arcs de cercle. 

Le planimètre Richard permet également de mesurer 
toute courbe, fermée ou non, à ordonnées rectilignes. 

Il est caractérisé par deux plateaux circulaires verticaux 
tournant en sens inverse autour du même axe d'un angle 

Fig. 42. 



proportionnel à dx, et par une roulette dont l'axe est 
horizontal et dirigé suivant un diamètre des plateaux ; 
cette roulette, placée entre les deux plateaux, tourne 
autour de son axe sous l'action du couple produit par 
leur rotation en sens inverse et subit en même temps un 
déplacement axial qui n'est plus égal à Yy de Ja courbe, 
mais lui est proportionnel. L'instrument utilise donc 
directement le principe des planimètres à rotation. A cet 
effet, il est disposé de la façon suivante : 

Le cylindre G {fig* 43), sur lequel a été enroulé le 
diagramme, peut être entraîné à l'aide d'une vis sans fin 
et d'une roue hélicoïdale V, par un arbre horizontal A, 
qui produit en même temps la rotation du plateau P par 
l'intermédiaire d'un train d'engrenages coniques E. 



LES PLANIMETRES. 



63 



Cet arbre est mis en mouvement à la main par une 
manivelle M. Il s'ensuit que la rotation du plateau P est 
proportionnelle à dx. Si, en effet, l'arbre A tourne de ofô, 
le cylindre tourne de dx, tel que 

dx = kd§. 

Le plateau P a tourné en même temps de dW, tel que 
dW = k' M ; 



d'où 



dx= -rr dW. 

k 



La roulette, constituée par un segment de sphère, est 
Fig. 43. 




fixée sur un axe horizontal B; elle reçoit son mouve- 
ment de translation suivant le diamètre des plateaux à 
l'aide de la petite branche d'un levier H mobile autour de 
l'axe vertical O, et dont la grande branche G se termine 
par un traçoir F. Le levier H porte à son extrémité un 
bouton b s'engageant dans une encoche de l'axe de la 
roulette. Le levier H peut également commander la tige B 



64 CHAPITRE I. 

par un secteur denté engrenant sur une crémaillère 
taillée dans celle-ci. 

Si l'on fait tourner le levier G autour de O, le déplace- 
ment de l'axe B, et par suite celui de la roulette, seront 
proportionnels au chemin décrit par le traçoir F, c'est-à- 
dire à l'ordonnée de la courbe dont on cherche l'aire. Par 
construction, lorsque la pointe du traçoir est sur l'axe 
des x, la roulette se trouve au centre des plateaux. 

Supposons alors que nous fassions tourner la manivelle 
de û?9 5 les plateaux vont tourner, d'après ce que nous 

savons, de dW = -r dx. 

Le cylindre tourne en même temps de dx, et, y étant 
l'ordonnée de la courbe à ce moment, l'aire élémentaire 
du secteur de courbe est 

dk = y dx. 

La distance de la roulette au centre des plateaux est 
alors k' y, la roulette a donc tourné de <fa), tel que 

p du = k"y dW = k" — ydx, 
p du> = K c?A, 

en posant 

d'où 

pio = KA. 

L'angle dont tourne la roulette donne donc la valeur de 
Faire cherchée. 

Les lectures se font sur un compteur-totalisateur à 



LES PLAXIMÈTRES. 65 

quatre cadrans disposé dans une boîte D, et mis en mou- 
vement par l'axe de la roulette, à l'aide d'un pignon long, 
ou d'un train d'engrenages coniques à long clavetage. Les 
aires sont données en millimètres carrés. 

Ce planimètre est caractérisé par une grande précision 
et une absence presque totale de glissement, grâce au mode 
d'entraînement de la roulette. 



PLANIMETRE A ROTATION D AMSLER. 

Amsler a construit un appareil dans lequel le cylindre 
enregistreur est entraîné par une sphère ; c'est un plani- 
mètre polaire où l'on retrouve la plupart des dispositifs 
déjà étudiés. 

Il comporte (fig. 44) Lin support circulaire dont le 
rebord porte une denture Q sur laquelle engrène un 
petit pignon H calé sur le bras polaire. Ce dernier porte 
à l'une de ses extrémités une petite sphère épousant exac- 
tement la forme de l'évidement d'un axe vertical P qui 
passe au centre du support et sert d'axe de rotation. A 
l'autre extrémité est fixée une phère creuse O, qui tourne 
autour de l'axe polaire quand celui-ci se déplace autour 
de P. Le bras moteur est mobile autour d'un axe ver- 
tical G, passant par le centre de la sphère O, et porte une 
rainure dans laquelle peut se mouvoir un chariot supporté 
par deux roues à bords minces. Ce chariot porte le 
cylindre dont le point de contact avec la sphère est tou- 
jours situé sur la circonférence d'un grand cercle hori- 
zontal. 

Désignons (fig. 4$) P ar L ^ a distance du centre du 

DE M. 5 



66 



CHAPITRE I. 



support au point d'articulation du bras moteur avec le 
bras polaire; par IV le rayon moyen de la denture, r celui 
du pignon H, R celui de la sphère O. 

Fig. 44. 




Le déplacement élémentaire du planimètre peut être 
ramené à une rotation d^ du bras polaire et à une rotation 
du bras moteur éçale à dz> — d^. 

Si alors le bras polaire tourne de d§ autour du pole/j, 
le petit pignon, et par suite la sphère O, tourneront autour 



LES PLANIMÈTRES. 67 

de l'axe horizontal pC de dW, le! que 
R' ^8 = r dW. 

Soit a l'angle du bras moteur et de la courbe décrite 
Fie. 4.5. 




par son point d'articulation avec lebraspolaire; le cylindre, 
dont l'axe est resté parallèle à CF, tournera de du>, tel 
que 



ou 



et comme 



p dm = R sina <i l F, 



p dw = sin a «?8, 



ds = L rfO, 

oko = — — ri.s sin a. 

1 rL 



En se reportant alors à la formule 



dk = l ds sin a -+- — tfcp. 
•2 



68 CHAPITRE 

on a 



d'où 



d A. =. lo — — du) H do 

1 RR 2 f 



/O -1-777 (0 H O H- COnSt, 

1 RR 2 ' 



Comme précédemment, il y a deux cas à examiner sui- 
vant que le pôle est intérieur ou extérieur à la courbe. 

Pour qu'il n'y ait pas glissement, il faut que l'axe du 
cylindre et l'axe de rotation de la sphère se trouvent 
rigoureusement dans un même plan. 

Dans un premier modèle construit par Amsler, la 
sphère O entraînait une rogletle intégrante qui se trouvait 
soumise dès lors à des mouvements de rotation et de glisse- 
ment. Comme dans le cas précédent, la sphère était menée 
par un pignon conique, mais son axe était incliné sur 
l'horizontale. 



PLANIMETRE 3. THOMSON. 



On peut encore réaliser de différentes façons des appa- 
reils utilisant le principe des planimèlres à rotation. 

J. Thomson a construit des instruments dans lesquels 
la rotation du cylindre enregistreur, horizontal, a lieu par 
l'intermédiaire d'une sphère entraînée elle-même par la 
rotation d'un plateau tournant d'un angle proportionnel 
à dx. Cette sphère se déplace suivant an diamètre du pla- 
teau parallèle à l'axe du cylindre, à l'aide d'une fourche 
formant l'extrémité d'un bras porte-style. Le déplacement 
de ce bras étant constamment égal à la variation de l'or- 
donnée de celte courbe, on peut s'arranger de façon que 



LES PLÂNIMËTRËS. 



69 



la distance du point de contact de la sphère sur le plaleau 

au centre de ce dernier soit égale à cette ordonnée. 

Soient R le rayon de la sphère, la distance de son 

point de contact au centre du disque, K dx la rotation 

élémentaire de celui-ci et dW celle de la sphère ; on 

aura 

ÔK dx = R dW. 

Pendant ce mouvement, la sphère roule sur le cylindre 

Fig. 46. 




le long de la génératrice de contact et entraîne sa rotation 
autour de l'axe aa! . 
On a alors 

p dm H d x Y, 
d'où finalement 

p dhi = Ky dx, 
puisque ô = y. 

L'angle w dont le cylindre a tourné donnera donc la 
valeur de l'intégrale 

/ ydx. 

D'une façon générale, si est une fonction de x, 
=f(x), on peut à l'aide de ces appareils, déterminer la 



70 CHAPITRE I. 



valeur de L'intégrale 



f 



f{x) dx. 



Dans les appareils construits par J. Thomson, le plateau 
a une inclinaison de 45° sur l'horizon, de telle sorte que 
l'effort seul de la pesanteur produit les mouvements d'en- 
traînement. Les planimètres de cette catégorie sont d'une 
construction compliquée, mais sont caractérisés par la 
suppression presque complète des frottements. 

APPLICATION DU PLANIMETRE AU CALCUL D'INTEGRALES. 

Les différents planimètres que nous venons d'étudier 
permettent d'évaluer par une simple opération l'aire d'un 
contour fermé, c'est-à-dire de déterminer la valeur de 
l'intégrale 

/ y dx = I f(x)dx, 

si la courbe, rapportée à des axes rectangulaires, est don- 
née par l'équation 

Construisons maintenant une courbe ajant mêmes 
abscisses, mais dont les ordonnées soient les carrés des 
ordonnées correspondantes de la première courbe. On 
peut alors avec le planimètre déterminer l'aire de cette 
deuxième courbe qui a pour valeur 



/ 



jr*dx = *M ox (A), 



c'est-à-dire le double du moment de l'aire A par rapport 
a ox. 



LES PLANIMÈTRES. 7I 

Construisons dans les mêmes conditions une troisième 
courbe ayant pour ordonnées)' 3 : son aire aura pour 



r 



7 3 dx = 3I . r ( A), 



c'est-à-dire trois fois la valeur du moment d'inertie de A 
par rapport à ox. 

On peut donc avec un planimètre ordinaire obtenir, 
par trois mesures successives, les valeurs de A, M ox (A) 
et U(A). 

Planimètres spéciaux. 

PLANIMÈTRE RADIAL DE DURAND-AMSLER ( 1 ). 

On construit depuis quelque temps des appareils enre- 
gistreurs dans lesquels les diagrammes sont tracés dans 
un système de coordonnées polaires. A cet effet, un disque 
en papier tourne autour de son centre d'un mouvement 
uniforme pendant qu'un style se meut, soit en ligne 
droite, soit suivant un arc de cercle, en s'éloignant ou en 
se rapprochant du centre. 

Ces instruments, très répandus en Amérique, sont 
employés pour les mesures du travail mécanique, de la 
température, de l'énergie électrique. 

Les planimètres ordinaires ne pouvant être utilisés pour 
l'évaluation des diagrammes de ce genre, le professeur 
W.-F. Durand, de l'Université de Leland-Stanford, a 



( ' ) Ce planimètre a été décrit dans la Zeitschrift fur Instrumen- 
tenkunde, juillet 1911. 



J1 CHAPITRE I. 

proposé en 1908, à l'American Society of Mechamcal 
Engineers, un planimètre permettant de déterminer rapi- 
dement la valeur de l'ordonnée moyenne d'un diagramme. 

Fig. 47- 




L'appareil comprend deux liges parallèles C, C ( pouvant 
coulisser dans un poids A placé au centre du diagramme : 
ces deux tiges peuvent en même temps tourner autour 
de ce centre. Elles sont réunies à l'une de leurs extrémités 
par un cadre D portant la roulette-enregistreuse F et le 
traçoir avec lequel on suit le contour de la courbe. La 
droite passant par le centre de rotation et pat- la pointe 
du traçoir forme à chaque instant le rayon vecteur et est 
parallèle à la direction des deux tiges : enfin l'axe de la 
roulette doit aussi être rigoureusement parallèle à cette 
direction. 

Si l'on suit avec le traçoir le contour d'une courbe fer- 



LES PLANIMÈTRES. 73 

mée, L'indication de la roulette est proportionnelle au 
produit de la valeur moyenne du rayon vecteur par 
l'angle a compris entre les rayons vecteurs exlrêmes ; en 
divisant par aie nombre relevé au compteur de la roulette, 
on obtient donc la valeur de l'ordonnée moyenne du 
diagramme. 

Pour faire usage de l'instrument on tourne la molette G 
jusqu'à ce que la pointe centrale dépasse le plan inférieur 
du poids ; on l'introduit alors dans le trou qui se trouve 
au centre du disque de papier, et trois autres pointes 
portées par le poids assurent la fixité de l'appareil sur la 
feuille du diagramme. 



PLANIMIÏTRE DE BEUVIERE. 



Ce planimèlre, dont il existe deux modèles légèrement 
différents dans la collection du Conservatoire des Arts et 
Métiers, a été imaginé par Beuvière, chef des travaux du 
cadastre. 

On partage la surface dont on cherche l'aire en un cer- 

Fig. ,. 



tain nombre de bandes de même hauteur ; on obtient ainsi 
des trapèzes mixtilignes abcd auxquels on substitue des 
rectangles équivalents; il suffit pour cela de mener une 



74 CHAPITRE I. 

parallèle mn aux côtés ab, cd, lelle que la somme algé- 
brique des aires des surfaces ombrées à l'intérieur et à 



Fig- 49- 



^. 



l'extérieur du contour soit nulle, et de mesurer la lon- 
gueur mn. 

L'appareil comporte un chariot muni d'une plaque de 
verre, sur laquelle sont gravées des lignes parallèles à l'aide 
desquelles on obtient la division par bandes. Celles-ci en 
réalité ne sont pas tracées sur le dessin. Une roue 

Fig. 5o. 




graduée R, dont le plan est parallèle à la plaque de verre, 
est portée par le chariot et roule sur une règle LL parallèle 
aux bandes. 

Pour obtenir la longueur de chaque bande, on note, à 



LES PLANIMETRES. 



75 



l'aide des divisions de la roue, le chemin qu'elle a par- 
couru quand le trait rr' de la plaque s'est déplacé par 
exemple de m en n. 



PLANIMETRE SPHERIQUE D AMSLER. 

Théorie. — Considérons (fig. 5i) une sphère de 
ravon R et deux plans parallèles dont l'un passe par le 
centre. Si par le diamètre Oz perpendiculaire à ces plans 
on mène deux autres plans, on obtient trois arcs de grand 

Fig. 5i. 




cercle AB, AC, BD, qui, avec l'arc de petit cercle CD, 
forment un rectangle sphérique. Par les points A et B 
faisons passer deux arcs de grand cercle AE, BF dont les 
plans fassent le même angle à avec le plan du grand 



76 



CHAPITRE I. 



cercle AB. On a un second quadrilatère sphérique ABFE 
ayant même surface que le rectangle ABDC. 

Evaluons l'aire du quadrilatère ABFE. 

On a 

surf. ABFE = surf. ABDC = sRsina. 

Or, dans le triangle sphérique AEH, rectangle en H, 
l'arc de grand cercle EH ayant pour angle au centre 
l'angle a, on a 

sina = sinX sin^, 
d'où finalement 



(i) 



surf. ABFE = sR sinX sin^, 



Soit maintenant AC (Jig* 02) un arc de grand cercle 
de longueur constante, auquel est reliée une roulette dont 
le plan est normal à lare AG au point D. 




Supposons que cet arc se déplace sur sa sphère de 
rayon R et considérons deux positions infiniment voisines 
AC, A'C ; comme dans la théorie du plani mètre polaire 
servant à la mesure des surfaces planes, nous allons évaluer 



LES PLANIMÈTRES. 77 

l'aire balayée par l'arc AG dans son déplacement élémen- 
taire. 

Soient ds l'arc de grand cercle DD ; parcouru par le 
point de contact de la roulette, ^ l'angle de AG avec DD'. 

Le déplacement élémentaire peut être considéré comme 
produit par une translation, sur la surface de la sphère, 
de AC en A 1 G 1 faisant l'angle à avec DD', suivie d'une 
rotation d^ autour de D r amenant A,C| à la position A'C 

La surface des triangles sphériques AA'A, , GG'G, , étant 
infiniment petite du deuxième ordre, peut être négligée 
et l'on a 

surf. AA'C'C = surf. AA! D'D + surf. DD'Ci G 

H- surf. D'G'G, — surf. D'A'Aj. 

Si l'on désigne par X, , A 2 les angles au centre des arcs de 
grand cercle DA et DG, on a, d'après la relation (i), 

surf. AA'G'G = R ds sin^ sinXj -f- R ds sind» sinX 2 

-+- R 2 (i — cosX 2 ) d<l> — R 2 (i — cosX,) dl, 
ou 

dZ. = R(sinX 1 -+- sinX 2 ) ds sin <\> -f- R 2 <i<l>(cosXi — cosX 2 ). 

Or ds sin'!/ représente la projection du chemin DD' sur 
le plan de la roulette, c'est-à-dire lare développé sur sa 
circonférence dans la rotation autour de son axe, pendant le 
déplacement élémentaire; soit pdu la longueur de cet arc. 

La relation précédente devient 

dZ. = Rp(sinX, -+- sinX?) dui -+- K 2 (cosX! — cosX 2 ) d<\>, 
et, en intégrant, 

S = Rp(sinX 1 -+-sinX 2 ) f dto -+■ G f d<\>. 



78 CHAPITRE I. 

en désignant par C la quantité R 2 (cos ) M — cos). 2 ). 

! diù est l'angle dont a tourné la roulette; sa valeur est 

donnée par le compteur de l'appareil comme dans le plani- 
mètre polaire ordinaire. Elle permet donc d'évaluer 
l'aire S. Or quand l'arc AG parcourt une surface déter- 
minée, en revenant à son point de départ, les points A 
et C décrivent sur la sphère deux courbes fermées S f , S 2 . 

Soient a-, et <x 2 les aires de ces courbes. 

Si, pendant que le point G décrit S 2 , le point A parcourt 
seulement une portion de la courbe S, et revient finale- 
ment à son point de départ, / dà = o. 

La surface sphérique abcd comprise entre S 2 , l'arc ab 
et les enveloppes ad, bc des positions successives de l'arc 

Fisr. 53. 




de grand cercle AC, est balayée deux fois et en sens 
inverse. L'aire mesurée se réduit donc à celle de la 
courbe S 2 , et Ton a 

S = <x 2 . 

Si maintenant le point A parcourt entièrement la 
courbe S, quand G décrit la courbe S 2 , / dô est égal 



LES PLANIMETRES. 



79 



à 27t, et 2 mesure l'aire de la surface sphérique comprise 
en Ire les deux courbes. 




En considérant comme surface de la courbe S 2 la sur- 
face dmcTj, on a 



a 2 = L -+- a,, 



En général on aura 



£ = <r 2 



?i 



K. 



Remarque. — Dans certains cas particuliers on pourra 
également avoir 



(«) 



S + ff|+ffj= 4t:R 2 , 



car une courbe fermée tracée sur une sphère la partage 
en deux parties dont chacune peut être considérée comme 
étant la surface de la courbe. 

L'égalité (a) suppose alors qu'on prend pour surface 
de la courbe S 2 la portion de sphère dmcTJ . 

L'appareil imaginé par Amsler présente des dispositions 
analogues à celles du planimètre polaire qu'il a construit 
pour la détermination de l'aire des surfaces planes. Les 



80 CHAPITRE I. 

axes qui dans ce dernier cas sont perpendiculaires au plan 
du dessin (axe du traçoir, de la charnière, et de la pointe 
du pôle) doivent dans le planimètre sphérique être nor- 
maux à la surface delà sphère. Dans ce but et pour faciliter 
le maniement de l'appareil, les deux bras sont munis en 
leur milieu d'une charnière qui est perpendiculaire à leur 




axe longitudinal et à l'axe de l'articulation C qui les 
réunit. Le point de contact de la roulette doit en outre se 
trouver sur l'arc de grand cercle passant par C et par la 
pointe du traçoir. 

Les lectures se font à l'aide d'un appareil compteur 
identique à celui d'un planimètre ordinaire. 



STEREOGRAPHOMETRE. 



Le stéréographomètrc, dont il existe un modèle dans la 
collection du Conservatoire des Arts et Métiers, a été 
imaginé par Amsler; il est destiné à évaluer l'aire d'une 



LES PLANIMETRES. 81 

surface spliérique dont on connaît la projection stéréogra- 
phique. 

L'appareil comprend essentiellement (yt£ - . 56) trois liges, 
<7, b, p et deux roues dentéesRi , R 2 , mobiles autour de leurs 
centres et engrenant l'une sur l'autre : elles sont montées 
sur un même support solidaire de la tige/?, qui est perpen- 

Fiff. 56. 



2co s* 




diculaire à la ligne des centres C ( C 2 . La roue R 2 a un 
diamètre double de celui de R, et cette dernière porte une 
roulette intégrante R reposant sur la feuille du dessin 
comme dans un intégromètre à moments ordinaire. Cette 
roulette est disposée de telle sorte que son axe fasse 
constamment avec la ligne Cj P un angle égal à 2to. 

La tige a peut glisser suivant sa longueur et toujours 

DE M. 6 



82 CHAPITRE I. 

dans une direction perpendiculaire à p ; à cet effet, elle est 
maintenue par des galets gg... dont les axes sont fixés à 
une pièce M solidaire de la tige p. 

La roue R 2 est reliée invariablement à la tige 6, et cette 
dernière passe librement dans un collier S fixé à « et 
mobile autour de l'axe perpendiculaire au plan de la figure 
passant par l'intersection des deux droites. 

L'extrémité F de la tige a est munie d'un style avec 
lequel on suit le contour de la courbe donnée. 

Tout l'ensemble peut tourner autour d'une pointe P, 
fixée au support M, et qui sert de pôle à l'instrument : ce 
point est située sur la perpendiculaire abaissée du 
centre C, sur la tige a. Pour effectuer une mesure, on place 
le pôle P au pied de la perpendiculaire abaissée du centre 
de projection stéréographique sur le plan du dessin, et 
avec le style F, on parcourt entièrement le contour s; la 
différence des lectures indiquées par la roulette permet 
de calculer l'aire de la surface spliérique dont 5 est la 
projection stéréographique. 

Théorie. — La théorie de l'appareil, donnée par Amsler, 
peut s'établir de la façon suivante ( ' ) : 

Considérons (fig. 5~) une sphère de diamètre PC t 
tangente en P au plan du dessin sur lequel est tracée la 
projection stéréographique. 

Il s'agit de déterminer l'aire de la surface spliérique 
comprise à l'intérieur de la courbe s', intersection de la 



( ' ) Deutsche Mathematiker- Veveinigang, Katalog Mathemalischer 
Modelle, Apparate und Instrumente, 1892. 



LES PLANIMETRES. 



83 



sphère avec le cône de sommet C, ayant pour directrice 
la courbe s. 

Si l'on désigne par u l'angle PMF' et par o l'angle que 
le plan PC, F' fait avec un plan fixe quelconque passant 

Fig. 5 7 . 




par PC,, l'aire de la figure sphérique s' a pour expression 

ou, puisque [i. = 2to, 

0) K'=Pljco, 



>S2 to d r x>, 



l'intégration s'étendant à la totalité du contour de la sur- 
face s 1 '. 

Rabattons les deux plans infiniment voisins PG<F, 
PG,F 1 sur le plan de projection, autour de leurs traces 
respectives PF, PF,. Les deux triangles PC 1 F, PG 1 F 1 
occupent, après rabattement, les positions qu'aurait prises 
le triangle PC, F de la figure 56 avant et après la rotation 
dv de l'instrument autour du pôle P. 



CHAPITRE I. 



Supposons (fig> 56) que, pendant cette rotation, la 
pointe F sôit venue en F i sur le contour 5 et voyons quel 
a été le développement correspondant de la roulette R. 

Le déplacement élémentaire FF, peut être considéré 
comme produit par la rotation do de la tige a autour du 
pôle P et par la translation F 2 F 4 de cette même tige suivant 
sa propre direction. 

Du fait du premier mouvement, le point de contact de 

Fis. 58. 



\ 1 



la roulette décrit sur la feuille de dessin un arc de cercle 
élémentaire de longueur PRdb. Si Ton désigne par ol 
l'angle PRG,, le développement correspondant de la rou- 
lette est par suite PRcosaa?©. 

Dans le second déplncemcnt, de F- 2 en F, , la tige b 
tourne de dto autour du centre C 2 ; la roue R, tourne de 
2<r/to et la roulette R développe 2RC, dtù. 

Le développement total de celle-ci est donc 

du = PR cosa dy 4- 'i RCj diû. 



LES PLANIMÈTRES. 85 

Or dans le triangle PRH, on a 

PRcosa = RCi-hCiH = Rd+PC! cos2to ; 

d'où, pour la valeur du développement, 

du = RGi do -+- p cos2oj do -+- 2 RC^ <iw, 
et, en intégrant, 

w = RC t I do -h p ! cos'2o) do -h 2RG t / du>-. 

Lorsque la pointe F a parcouru entièrement le contour 5, 
la tige b a repris, par rapport aux autres parties de l'ins- 
trument, la même position relative qu'au début de l'opé- 
ration : par suite / dto = o. 

D'autre part / do est nul ou égal à 2-, suivant que le 

pôle P est extérieur ou intérieur à la courbe s. 
On a alors, suivant les cas, 

U = p ! COS2C0 d'O, 

u =p I co" j do -+- 2 7i RCj. 

Si l'on se reporte à l'équation (1) donnant l'aire A' de 
la surface sphérique, on a finalement 

A' = l u. 



ou 



., p pKCy 
A = -h U — TU - - 



t • ' P /PBCi 1 -, 1, 

Les quantités — et tc — • — sont des constantes de 1 ap- 
pareil. 



86 CHAPITRE II. 

CHAPITRE IL 

LES INTÉGROMÈTRES 



Principe des intégromètres. 

Nous avons vu que pour déterminer, à l'aide du plani- 
mètre, la valeur des intégrales 

l y- dx et \y % dx, . .., 

il était nécessaire de construire préalablement des courbes 
auxiliaires dont les ordonnées étaient respectivement les 
carrés ou les cubes des ordonnées de la courbe primitive. 
Les appareils généralement appelés intégromètres 
(quelquefois planimètres à moments) permettent de 
calculer en une seule opération les trois intégrales 



/ ydx, I y*- dx y ! y*dx: 



ils peuvent même être disposés pour donner la valeur de 

l'intégrale / y h dx, c'est-à-dire pour calculer, par exemple, 

le moment d'inertie des corps de révolution par rapport 
à leur axe géométrique ou encore par rapport à tout 
autre axe. 

Principe des intégromètres. — Considérons (jig. 09) 
le bras moteur MM' d'un planimètre linéaire. 



LES INTEGROMETKES. 87 

On a 

y = /sina, 
y* = n s in 2 a, ..., r"=/'sin"a. 

L'évaluation des intégrales successives 

Jy^dx, ..., Jy"dx, 

revient donc à celle de 

1./.!...*, ..., !./«..«*, 

étendue à la totalité du contour de la courbe fermée. 

Transformons sin" a en une somme de sinus d'angles 
égaux à des multiples de a ou a leurs compléments. 

Ona('): 

si n est pair, 

n 

( — i) 2 i n ~ l sin'*a = cos/ia cos(t? — 2) a 



n(n — 1) 
t cos(n — 4) a -+-..., 



et si n est impair 



"- 1 

. . n . 

( — 1) 2 2" _ 1 sin"a = sin//a sin(/i — 2)a 

n(/i — 1) . 
H sin(/ï — 4)a 



(/) Ces formules s'établissent facilement de la façon suivante 
Considérons les expressions conjuguées: 

u = cosa h- î sina 
y = cosa — t sina. 

On en tire, par soustraction, 

2 isina = u — v, 



88 



CHAPITRE II. 



En remplaçant, dans l'intégrale l n I sin" olcIx, sin" a pai 
les valeurs ainsi trouvées, on voit que celle-ci se trans- 

Fig. 5 9 . 




forme en une somme algébrique d'expressions delà forme 
K l n I sinma dx 



i( — i) 2 sina= (u — v). 

Élevons à la puissance n; il vient, par application de la formule du 

binôme, 

- . n , n (n — 1 ) 

2"( — i) 2 sin n a= u" u n ~ l v H u"~-v 2 

1 1,2 

Si n est pair, ce développement peut s'écrire, en réunissant les termes 
équidistants des extrêmes, 
n 
2"( — 1) 2 sin"a = u" -h v" uv ( u"~ 2 -+- v n ~- )'-+-.... 

Or uv, et ses puissances successives, est toujours égal à 1 ; de plus, 
d'après la formule de Mo ivre, 



d'où 

de même 



u n = cos «a+ 1 si n n a 
v" = cos/? a — zsin n a 

u n -+- v" = 2cos/2 a ; 
u"- 2 -+- v""" 1 = 2 cos (n — 2 ) a, 



LES INTEGROMETRES. 89 

OU 



K /" 1 cosma dx, 



m étant successivement égal à /*, ti — 2, .... 

11 suit de là que si, à l'aide d'un mécanisme approprié, 
une roulette intégrante se déplace en même temps que le 
bras moteur, detellesorteque son axe fasse avec xx' (fig. 60) 
un angle constamment égal à ma. ou à son complément, 
quand l'extrémité t parcourt la courbe, elle enregistre les 



intégrales 



/ 



si 11 ma. dx = pto, 



Donc il vient finalement, en remplaçant, 
2" (— 1) 2 sin" %— 2 cos /î oc 2cos(/i — 2) a -+- 2 -cos (n— 4) a.... 



(— 1)- 2"- 1 sin" a = cos «a cos (n — 2 ) a H — cos (n — [\)<x.... 



Si n est impair, on a 



2" (— 1)2 sin" a = a" — v" uv(u n ~ 2 — v n ~ 2 ) .... 

Or 

1 

a" — v n = 2 ( — i) 2 sin n a 



2 ( — i) 2 sin ( n — 2 ) a 



et, en remplaçant, 

n 1 1 

2"(— i)" 2 sin" oc = 2( — 1)2 sin «a 2 (— 1)2 sin (71 — 2) a,.. 

ou 

n— 1 

( — 1) 2 2"^ 1 sin"a = sin /? a sin (/i - - 2) a h- 



90 
ou 



CHAPITRE II. 



/ sin ( ma] dx = pw / 

Fig Go. 




Dans les formules (i), faisons n égal successivement 
à 2, 3, 4- 
On a : 

• I • (* \ 

n = -i, sin 2 a = sin 2a , 

1 9. \a /' 

et, pour la valeur du moment, 

M.» .»•' = - / y*- dx = — — / sin ( 2 a j dx -+- I dx\. 

et si on l'intègre le long d'une courbe fermée, / dx étant 
nul, 

M. r . r ' = / sin ( iz) dx, 

M xx . 



— po> 2 . 
4 



tô 2 étant l'angle dont a tourné la roulette qui a son axe 



incliné de - — 2a sur xx' . 
1 



n = 3. 



3 sina sin3a 



LES INTEGROMETRES. 9 1 

La valeur du moment d'inertie de l'aire A par rapport 
à xx' est 

I rr/ (A) = ^ f y* dx = | j/3 / sina dx — / sin3a ctej, 

I.,, r /(A)= — (3pwi— pw 3 ), 

d), et w 3 étant les angles dont ont tourné les roulettes 
ayant leurs axes respectivement inclinés de a et 3 a 

sur xx' . 

/i=4, 8 sin^a = sin ( 4a j — 4 sin / 2aj -h3. 

L'intégrale - / y k dx a pour expression 
- / y k dx = - I V* sin 4 ^ a dx 

— 4 / si n ( 2a ) dx -+- 3 / efa? , 

et en intégrant le long d'un ontour fermé, / dx étant 
nul, on a finalement 

l - jy<*dx=3 -~(pw 4 — 4pw 2 ), 

w 4 étant l'angle dont a tourné la roulette ayant son axe 

incliné de ; 4 a sur xx ' et w 2 ayant la même signification 

que précédemment. 

Remarque. — Si l'on désigne par R,, R 2 , R 3 , R, les 
quatre roulettes intégrantes, on voit que, quand a est nul, 
les roulettes R, et R 3 ont leurs axes parallèles à xx ! y et 



9*2 CHAPITRE II. 

que les roulelles R 2 et R 4 ont, au contraire, leurs axes 
perpendiculaires à cette même direction. L'appareil doit 
donc être établi de telle sorte que cette condition soit rem- 
plie quand le bras porte-style est parallèle à xx' . 



Intégromètres d'Amsler. 

Amsler a donné un certain nombre d'appareils destinés 
à déterminer la surface, le centre de gravité et les moments 
d'inertie des aires planes et des corps de révolution. 

INTÉGROMÊTRH DONNANT LA VALEUR DKS INTÉGRALES 

/ y dx, / y- dx, j y z dx. 

La figure 61 donne une vue de cet appareil. Il com- 
porte {fig. 62) un chariot monté sur deux roues à rebords 
minces R, R, qui peuvent rouler dans la rainure RB 
taillée dans une longue règle métallique qu'on dispose sur 
la feuille du dessin parallèlement à l'axe des x. 

Le cadre du chariot porte trois axes verticaux O,, 2 , 3 , 
situés sur son axe de symétrie, c'est-à-dire sur une même 
perpendiculaire à xx ! . 

Autour de O, pivote le bras D muni à son extrémité C 
d'un traçoir, et en E d'une roulette intégrante ordinaire 
avec compteur. Ce bras est solidaire à son autre extrémité 
d'un cercle portant deux secteurs circulaires ayant pour 
centre commun O, et pour rayons respectifs ir et 3/-. 
Chacun de ces secteurs engrène avec une roue dentée de 



94 



CHAPITRE II. 



rayon égal à /' et pouvant tourner autour des axes 2 et0 3 . 
Ces deux roues sont munies chacune d'une roulette inté- 
grante dont l'axe est dirigé suivant un rayon. 

Il résulte des dispositions précédentes que si, avec 
le traçoir, on suit le contour d'une courbe fermée, le 
chariot se déplace parallèlement à l'axe des x. Le centre O, 

Fi>. 0>. 




décrivant alors une droite parallèle à la rainure de la 
règle, le bras D joue le rôle du bras moteur d'un plani- 
mètre linéaire ordinaire. La roulette intégrante E tournera 
donc d'un angle co, cpii mesurera l'aire de la courbe. 

Pendant ce temps, chacune des deux roues a été en- 
traînée par son secteur respectif de telle sorte que, quand 
le bras moteur tournait d'un an«;le a, la roue de centre 0.> 
tournait de 20c, et la roue de centre 3 de 3a. 

D'après ce que nous savons, l'appareil est construit de 
façon que, quand a est nul, les axes des roulettes appar- 
tenant aux roues de centre 2 et 3 , sont respectivement 
perpendiculaire et parallèle à xx '. 

Dans ces conditions, les angles a) 2 , w 3 dont elles auront 



LES INTEGROMETRES. (p 

respectivement tourné mesureront les intégrales 

/«'■(£-»«)*'. f**'*. 

et, à l'aide des formules indiquées pour chaque appareil, 
onpourracalculerle momentstalique et le moment d'inertie 
de la courbe par rapport à xx'. 

L'instrument est complété par deux réglettes d'égale 
longueur, servante assurer le parallélisme de la règle avec 
l'axe par rapport auquel on veut prendre les moments. A 
cet effet, chaque réglette porte à une extrémité un talon à 
biseau qu'on introduit dans la rainure BB, et à l'autre 
extrémité une pointe. Les deux réglettes étant mises en 
place, on dispose alors la règle de façon que les pointes 
viennent se poser sur l'axe choisi. 

Le bras moteur porte en général trois Iraçoirs, celui de 
l'extrémité étant (ixe, les deux autres mobiles. Leur emploi 
est subordonné aux dimensions de la courbe. On utilise 
pour chacun d'eux des formules différentes, indiquées 
d'avance. 

Enfin un poids P permet d'équilibrer l'appareil autour 
de la ligne de roulement des roulettes R. 



INTEGROMETRE D AMSLER DONNANT LA VALEUR DE L INTEGRALE 



/ 



y'* dx. 



Cet intégromètre, dont la figure 63 donne une vue 
d'ensemble, est identique comme dispositions géné- 
rales à celui que nous venons de décrire. Il n'en diffère 



LKS INTKGROMETRKS. 



97 



que par l'adjonction d'une quatrième roulette intégrante 
montée sur une roue R 4 entraînée, avec les roues R 2 et R 3 , 
par le cercle solidaire du bras moteur. 

La disposition est la suivante : 

Le cercle de centre O t {fi g. 64), mobile avec le bras 
moteur, ne pouvant commodément recevoir trois secteurs 
dentés de rayons différents., porte sur toute sa circonférence 
une denture de rayon uniforme r. Les roues R 2 , R 3 , R 4 , de 
centres 2 , 3 , O,, ont au contraire des rayons respecti- 
vement égaux à 



r r 



Il en résulte que si le cercle moteur tourne autour de O, 
d'un angle a, les roues R 2 , R 3 , R 4 tourneront autour de 
leurs centres d'angles respectivement égaux à 



2a, oa, 4a. 



D'après ce qui a déjà été dit, l'appareil est construit de 
telle sorte que, si l'angle a du bras moteur avec l'axe des x 

Fig. 64. 




est nul, l'axe de la roulette intégrante de la roue R 3 est 
parallèle à xx', tandis que les axes des roulettes de R 2 
et R, lui sont perpendiculaires. 

DK M. 7 



9^ CHAPITRE II. 

Elles tourneront alors d'angles () 2 , a> 3 , (o,,, tels que 
pto., — / sin l - — xi \ c/.r. 
pco 3 = / sin 3 a dx, 
pw. = / siru— — \n.\dr. 



Le bras moteur porte, comme dans l'intégromètre pré- 
cédent, trois traçoirs, et les formules à employer suivant 
les cas sont indiquées pour chaque appareil. 

La roue R> ne forme pas un cercle complet. On ne 
conserve que la portion de circonférence nécessaire pour 
que la roue reste en prise avec la roue motrice, quand le 
bras moteur a atteint son déplacement latéral maximum 
à droite ou à gauche de xx' . En désignant par <I> ce dépla- 
cement total, la portion de circonférence conservée mm' 
doit donc correspondre à un angle au centre légèrement 
supérieur à 2 4>. 

Intégromètres de Helle-Shaw. 

APPAREIL DE LA MAISON CORADI. 

La maison Coradi a construit un intégromètre dû au 
professeur Helle-Shaw de Liverpool, clans lequel les rou- 
lettes intégrantes ne reposent plus directement sur la 
feuille du dessin, mais sont entraînées par la rotation de 
sphères avec lesquelles elles sont constamment en contact. 

Considérons ( jlg. 65) une sphère S, qui, dans un mou- 
vement de translation suivant xx' tourne en même temps 
autour de son diamètre horizontal dd' perpendiculaire 



LES INTËGROMKTRES. 99 

à xx' d'un angle dW proportionnel à dx, et une roulette 
intégrante Pi mobile autour du centre O, située dans un 
plan méridien et dont le point de contact soit sur un grand 
cercle horizontal. 

Quand la sphère aura tourné de dW autour de son dia- 

Fig. 65. 



mètre dd' ', la roulette aura tourné autour de son axe ee ! 

de dio, tel que 

p d<x> = a sina dW, 

et, comme dW est proportionnel à dx, 

p dio = a sin a K dx = K' sin a dx. 

Supposons que cette roulette soit solidaire d'un bras 
moteur parallèle à son axe ee' et mobile autour du point O. 
Si, avec un tracoir fixé à ce bras, on suit le contour d'une 
courbe fermée, la roulette permettra d'enregistrer la valeur 
de l'intégrale 



/ 



sina dx. 



et par suite on pourra évaluer l'aire A de la courbe. 

L'appareil est disposé pour donner l'aire, le moment 



CHAPITRE II. 



statique et le moment d'inertie d'une courbe par rapport 
à un axe. Il comporte donc trois systèmes intégrateurs à 
sphères (fig. 66). Ces derniers sont constitués par trois 
cadres entourant leur sphère respective et mobiles autour 
d'un axe vertical passant par l'axe de la sphère. Chacun 
d'eux est muni d'une roulette intégrante et d'une roue- 




compteur. L'axe du milieu O, est eu même temps l'axe de 
rotation du bras moteur qui est vissé sur la plaque de base 
du système intégrateur S,. Chaque cadre porte à sa partie 
supérieure une roue dentée; la roue du milieu engrène 
avec les deux autres, et leurs rayons sont respectivement 
égaux à 



Tout l'ensemble est placé sur un chariot formé d'un 
cadre C reposant sur un axe muni de deux rouleaux 
R,, H 2 . Cet axe porte en outre trois rouleaux de diamètre 
moindre, r<, r 2 , /' 3 entraînant la rotation des sphères autour 
de leur diamètre horizontal dd' . 

Si l'on déplace le chariot parallèlement à l'axe des #, les 
trois sphères tournent autour de dd' d'angles égaux, pro- 
portionnels à dx. En suivant alors avec le traçoir du bras 



LES INTEGROMETRES. IOI 

moteur le contour d'une courbe fermée, le cadre /du sys- 





tème intégrateur S, tourne autour de O n pendant que les 



102 ClIAPITItE II. 

cadres de S 2 et de S 3 tournent autour de 2 et de :{ 
d'angles respectivement doubles et triples de celui dont 
a tourné S, . 

Les roulettes intégrantes, entraînées dans ces mouve- 
ments, enregistreront donc les intégrales 



s 



sina dx. 



sin ( 2 a ) dx, 



sin 3a dx. 



Comme dans les intégromètres d'Amsler, Taxe de la 
roulette des moments est perpendiculaire à l'axe des x 
quand le bras moteur est parallèle à ce dernier. Les rou- 
lettes des systèmes S, et S 3 ont alors leurs axes également 
parallèles à xx' . 

Les trois sphères sont des boules de verre d'un poli 
mat, dont l'exécution est aussi soignée que possible; elles 
roulent sur billes dans leurs cadres, et les rouleaux /■,, r- 2 . 
r 3 sur lesquels elles reposent sont en celluloïde. 

Les roulettes ne se déplaçant pas sur le plan lui-même, 
les erreurs dues aux inégalités et aux plis du papier sont 
éliminées. 

En outre les mouvements de glissement sont supprimés. 

AUTRE APPAREIL DE HELLE-SHAW. 

Helle-Shaw a donné d'autres appareils, en particulier 
un intégromètre dans lequel le principe sphère et roulette 
est utilisé de la façon suivante : 

Soient une sphère S {fig. 68) mobile autour d'nn de 



LES IXTEGROM ETRES. 



io3 



ses diamètres horizontaux d, d' , et deux roulettes A, B 
ayant leur point de contact sur un grand cercle horizontal 
de la sphère, et situées dans des plans méridiens. 

Ces deux roulettes, reliées par un cadre qui maintient 

Fie; 68. 




leurs plans rectangulaires, peuvent tourner autour d'un 
axe vertical passant par le centre O. 

Soient r/9, dx, dy les déplacements angulaires de la 
sphère autour de d d' , et des roulettes A et B autour de 
leurs axes. On a 

p dx = a cosa <i6, 
p dy = a sina ^0, 
d'où 

dy 



dx 



tan g a. 



La roulette B développe la longueur 
p / tan g a dx, 
ei elle permet d'évaluer l'intégrale 

/ tan g a dx. 



io4 



CHAPITRE II. 



Si donc un mécanisme est disposé de telle sorte qu'en 
suivant le contour d'une courbe fermée, l'ordonnée soit 
constamment proportionnelle à tang a tandis que la roulette 
tourne d'une quantité proportionnelle à dx, la roulette B 
par sa rotation enregistrera une quantité proportionnelle 
à l'aire de la courbe. 

Pratiquement, dans l'appareil réalisé par Helle-Shaw, 
le cadre des roulettes est fixe et c'est la sphère qui est 
mobile autour de Taxe vertical passant par O ; il est évi- 
dent que les mouvements relatifs de la sphère et des 
roulettes restent les mêmes, et que tout ce qui a été dit 
précédemment subsiste. 

L'appareil, représenté schématiquement {fig- 69), com- 

Fig. 69. 

















V 


H 














IA' 












d 












g 


1 ^Ao 1 


- — B* 






1) 




-^\^\ G / 


.A 










A 




r ^ 




__„_ 


s 













prend un cylindre C mobile autour de son axe horizontal 
bU et sur lequel est enroulée la feuille de dessin, la direc- 
tion des ordonnées étant parallèle à celle des génératrices. 
La sphère est maintenue entre quatre roulettes A, B, 
A', B', et son axe dcV tourne dans les coussinets d'un 
collier G mobile autour de Taxe vertical passant par O et 



LES 1NTEG ROM ETRES. 



porté par une pièce fixée au socle de l'appareil. Ce collier 
est solidaire d'un bras D perpendiculaire à dd' et s'enga- 
geant dans un manchon à tourillons ï qui se déplace le 
long d'une tringle parallèle aux génératrices du cylindre, 
quand le collier de la sphère tourne autour de O. 

Ce manchon porte un tracoir avec lequel on suit con- 
stamment le point de la courbe passant sur la génératrice 
supérieure du cylindre. 

Si l'on désigne par a l'angle de dd ', axe de rotation de 
la sphère, avec la direction des génératrices du cylindre, 
on voit que l'ordonnée y de la courbe est proportionnelle 
à tanga. 

Si alors on fait tourner le cylindre autour de son axe, 
la roulette A tourne d'un angle proportionnel à dx et 
entraîne la sphère qui à son tour produit la rotation de B 
autour de son axe. 

D'après ce que nous savons, cette dernière enregistrera 
l'intégrale 

tanga dx. 



/• 



Les lectures se font sur un cadran vertical V devant 
lequel se déplace une aiguille H fixée sur le prolongement 
de l'axe de la roulette B. 

Si maintenant on dispose une seconde sphère dont l'axe 
de rotation soit perpendiculaire à celui de la première, et 
si cette sphère est entraînée par la roulette B comme la 
première l'était par A, une roulette B< perpendiculaire à B 



enregistrera l'intégrale 



s 



tan<; 2 a dx, 



106 CHAPITRE II. 

puisqu'il suffit, pour avoir la rotation de B,, de multiplier 
celle de B par tang a. Cette dernière roulette permettra 
donc de calculer le moment statique de la surface par 
rapport à un axe parallèle à l'axe des x, puisque tang a 
est toujours proportionnel à y. 

D'une façon générale, considérons p sphères disposées 
de telle sorte qu'une sphère de rang k ait son axe de rota- 
lion perpendiculaire à celui de la sphère de rang k — i; 
la roulette-enregistreuse delà sphère k — i, c'est-à-dire 
la A ième roulette, donnant l'intégrale 



/ 



tang* -1 a. dx, 



la roulette-enregistreur de la sphère k qui est par consé- 
quent la (A-f- i ) u,lie roulette du système, donnera l'inté- 
grale 

tang /f a dx\ 



I 



k étant quelconque, la (p -f- i )"' me roulette, la dernière 
par conséquent, enregistrera l'intégrale 



s 



tan 2 y a dx 



Pratiquement, l' in tégro mètre de Helle-Shaw est con- 
struit pour calculer soit Taire d'une surface, soit Taire, le 
moment statique et le moment d'inerlie par rapport à 
un axe. 

Dans ce dernier cas, les trois sphères, maintenues par 
leurs roulettes, sont montées sur un chariot qui peut se 
mouvoir parallèlement à Oœ. Le collier de la première 
sphère est solidaire d'une tige perpendiculaire à son axe 



LES INTEGROMETRES. 



K»7 



de rolalion et s'engageant, à son autre extrémité, dans un 
manchon à tourillons portant un tracoir qui se déplace 
parallèlement à Oy. 

La feuille de dessin étant élendue sur une surface plane, 
on déplace l'appareil parallèlement à l'axe des x 1 en sui- 
vant la courbe avec le tracoir. 



Intégromètre Marcel Desprez. 



Cet appareil présente cette particularité de n'avoir 
qu'une seule roulette qui effectue successivement les dif- 
férentes opérations d'intégration. 

Dans son ensemble, il comporte un chariot se déplaçant 
parallèlement à une direction fixe, pendant que le tracoir 




d'un bras articulé en un point du chariot suit le contour 
de la courbe. 

Le point d'articulation décrivant une ligne droite, l'in- 
tégromètre se rattache donc à la catégorie des appareils 
linéaires. 



[o8 



CHAPITRE II. 



Le chariot repose sur deux roulettes à bords minces E, E! 
pouvant rouler dans la rainure d'une règle métallique qu'on 
dispose sur la feuille de dessin (Jlg. 70). Il est solidaire d'un 
bras B, perpendiculaire au chemin de roulement et portant 
à son extrémité un axe vertical autour duquel tourne le 
bras moteur. Ce bras D porte le traçoir t et se prolonge 
au delà de O par une partie rectiligne à laquelle est fixé 
un axe vertical a. La roulette intégrante est portée par 
un étrier qui est mobile au lourde cet axe, et peut recevoir 
par rapport au bras moteur diverses orientations de la 
façon suivante : 

L'axe d'articulation O du bras moteur porte trois roues 
folles, qui peuvent être rendues successivement solidaires 

Fig. 71. 




de la tige B par une goupille s'engageant dans un trou 
pratiqué dans leur épaisseur et traversant une pièce soli- 
daire de l'axe O dirigée suivant un rayon. 

L'axe a porte trois roues solidaires, de diamètres dif- 



LES INTËGROMETHES. I09 

férents, pouvant engrener respectivement avec les trois 
roues précédentes. 

On a donc un système planétaire {fig. 71). 

Lorsque le bras moteur aura tourné de a, un point 
quelconque de la roue satellite aura un déplacement angu- 
laire 9 égal à a augmenté de t 3, tel que 

(3r = ocR, 

cette dernière roue ayant tourné sur elle-même en roulant 

sur la circonférence de centre O. 

Donc 

K / 
7 = a 



K / R\ 

- = a ( h — : I 



Par suite l'étrier et l'axe de la roulette ont tourné de la 
même quantité. Par conséquent si le rapport — est égal 
successivement à 1, 2,0, on aura 

6 = n, =? , = 4a 5 

et l'on pourra obtenir la valeur des intégrales 
/ y" 1 dx, j y* dx, f y'* dx. 

Dans l'appareil, le rapport— prend les valeurs 1, 2, 3 

en parlant du train supérieur. 

Si aucune roue n'est immobilisée, un doigt fixé à la 
roue inférieure du train central vient buter contre un 
arrêt de la tige motrice. L'axe de la roulette intégrante est 
alors, par construction, parallèle à cette tige, et l'appareil, 
fonctionnant comme un planimètre linéaire, donne la 
valeur des aires. 



IIO CHAPITRE III. 



Un ressort spiral, disposé au centre de l'équipage 
satellite, supprime les temps perdus dans les transmissions 
d'engrenage. 

Enfin l'appareil repose sur la feuille de dessin par une 
roulette, placée sous le train central, parallèle aux deux 
roues E, E ; , et constituant avec elles le troisième point 
d'appui du chariot. Un contre-poids P équilibre l'en- 
semble autour de la ligne de roulement. 



CHAPITRE III. 

LES IMÉGRAPHES. 



Généralités. 

Ees appareils étudiés précédemment donnent la valeur 
soit de l'aire, soit du moment statique ou d'inertie d'une 
surface comprise à l'intérieur d'un contour fermé. Ee 
résultat s'obtient par la connaissance de deux nombres 
qu'on lit au compteur de l'appareil, et une fois la lecture 
faite, il ne reste plus trace de l'opération. 

Si, après avoir calculé une aire \aBb, on veut obtenir 
l'aire AaGc limitée, par exemple, à 1 ordonnée \a et à 
une ordonnée intermédiaire Ce comprise entre les ordon- 
nées extrêmes, on est obligé dellectuer une nouvelle 
mesure, et il faudra, en général, recommencer l'opération 
autant de fois qu'on voudra déterminer de valeurs diffé- 
rentes pour les quantités en question. 



LES INTEGRA IMIES. 



I I I 



Les inlégraphes ont pour but de mesurer l'aire d'une 
courbe et de tracer une courbe représentative de la varia- 
tion de cette aire. Cette courbe est la courbe intégrale de 
la courbe donnée. Ces appareils permettent donc de voir 
rapidement comment varient les quantités qu'on évalue, 
et, une fois l'opération terminée, de relever une mesure 
en un point quelconque de la courbe tracée. 




Les intégraphes peuvent donc être considérés comme 
étant des appareils enregistreurs. Ils ont par rapport aux 
intégro mètres l'inconvénient d'être en général moin s précis, 
car le trait peut présenter d^s irrégularités et a toujours 
une épaisseur qui laisse une certaine indécision dans l'ap- 
préciation des longueurs à relever. 



LES COURBES INTEGRALES. 



Nous rappelons ici quelques-unes des principales pro- 
priétés des courbes intégrales, dont l'emploi permet de 
résoudre rapidement de nombreux problèmes où l'inté- 
gration graphique peut être avantageusement substituée 
aux méthodes ordinaires du calcul direct ('). 



( ' ) Il ne nous est pas possible, sans sortir du cadre de cet ouvrage, 
d'étudier les cas multiples où la courbe intégrale et par suite les inté- 



I 12 CHAPITRE III. 

Courbes différentielles et courbes intégrales. 

Soit ABC {fig. 73) une courbe donnée dont l'équation 
est supposée résolue par rapport à y 

On sait que l'aire a\ Bb comprise entre la courbe, l'axe 
des x et les deux ordonnées d'abscisses a et b, a pour 
expression 

X= f f{x)dx. 

Construisons alors une courbe en portant, à partir 
d'une droite quelconque parallèle à Ox, et sur chaque 
ordonnée delà courbe ARC, des longueurs proportion- 
nelles à l'aire limitée à cette ordonnée, telles que 



KY= Ç'f{x)dx. 



On a une courbe A'B'O qui est la courbe intégrale 
directe du premier ordre de la courbe donnée. 

Au lieu de considérer l'aire comprise entre la courbe et 



graphes, trouvent leur application. La brochure déjà citée d'Abdank- 
Abakanowiez en contient plusieurs exemples. Nous citerons en parti- 
culier : l'étude de nombreux problèmes de résistance des matériaux 
et la théorie des voûtes, la résolution des équations numériques de 
degré quelconque, la détermination de la résistance des trains à l'aide 
du pendule d'inertie de M. Desdouits, l'étude des problèmes de dépla- 
cement et de stabilité, en architecture navale. On pourra consulter 
également sur ce dernier sujet la Tliéorie du A'avire de MM. Pollard 
et Dudebout, Tome I ( Gauthier-Villars, 1890) et une communication 
faite par J.-G. Johnstone à la 48 e session de Vins Lit ut of Naval Archi- 
tects., 22 mars 1907. 



LES INTEGRAPHES. 



Il3 



l'axe des x, on peut considérer l'aire a'A\5b ! , comprise 
entre l'axe des y, la courbe et des droites parallèles à Ox. 
L'expression de cette aire est 



A, 






et, en construisant une courbe ayant mêmes ordonnées 

Fig. 73. 




que la courbe ABC et dont les abscisses sont respective- 
ment X, telles que 

r y 

KX = / x dy, 
J a < 

on a une deuxième courbe intégrale qui est la courbe inté- 
grale complémentaire du premier ordre de ABC. 

Les courbes A'B'O, AJ B' ( ont de même chacune deux 
courbes intégrales. Donc en tout quatre courbes intégrales 
du deuxième ordre pour la courbe donnée ABC. 

On peut construire par les mêmes procédés des courbes 
intégrales du troisième et du quatrième ordre. 

Les définitions précédentes permettent de mettre en 

DE M. 8 



Il 



CHAPITRE III- 



lumière un certain nombre de propriétés des courbes inté- 
grales, dont la démonstration est immédiate. 

I. Le coefficient angulaire en un point de la courbe 
intégrale est proportionnel à l'ordonnée correspon- 
dante de la courbe ABC. 



En effet, soit 



KY 



= /> 



( x) dx -h C, 



l'équation de la courbe intégrale. 



Le coefficient angulaire de la tangente en un point 



est 



u dY s, 




De même, il est évident que le coefficient angulaire en 
un point de l'intégrale complémentaire est proportionnel 
à l'abscisse de la courbe donnée. 

11 résulte de cetle première proposition que si, pour 
chaque point B de la courbe donnée, on porte à partir du 
pied b de l'ordonnée, suivant l'axe des x et dans le sens 
négatif, une longueur = K, la droite «B est parallèle à la 



LHS INTEURAI'IIES. 



u5 



tangente au point B, correspondant de la courbe intégrale 
directe (fi g- 70). 

C'est cette propriété de la droite «B, appelée directrice. 



Fia". 7 '3. 




que nous trouverons utilisée dans la construction des 
intégraphes. 

Zmurko a également indiqué un procédé rapide pour 
la construction de la courbe intégrale en la considérant 
comme l'enveloppe des droites telles que #,B, ('). 

II. La courbe intégrale directe du premier ordre 
d'une droite parallèle à Ox est une droite inclinée 
passant par V origine. 



En effet, soit y ■= a l'équation de cette droite ; celle de 
est 

■-/■ 



la courbe intégrale est 



dx = ax -+- 



(') Abdank-Abakanowick, Les intégraphes et la courbe intégrale. 



I l6 CHAPITRE III. 

La constante c est nulle, car pour x = o, \=o, donc 
Y = ax. 

III. La courbe intégrale du premier ordre cl' une 
droite inclinée passant par l'origine est une parabole 
du second degré, ayant pour axe, l'axe des y. 

Soilen effet y = a x+ l'équation de celte droite; celle 
de la courbe intégrale sera 

Y = I y dx = I ax dx = -ax % -\- G . 

C est nul, donc 

Y = - ax-, 

'2 

ce qui démontre la proposition. 

De même, la courbe intégrale de la parabole précédente 

Fis. :'». 




est une courbe du troisième degré passant par l'origine 
où elle présente un point d'inflexion et a pour tangente 
Taxe des x, etc. 

IV. Si la courbe donnée présente des points à tan- 



LES INTÉGKAPHES. 117 

gente horizontale, les points correspondants de la 
courbe intégrale sont des points d" inflexion. 

En effet, l'équation de la courbe intégrale étant 



/ y dx -h ( 



si ces points ne sont pas des points singuliers, on a 

d* Y _dy _ 
dx 2 dx ' 

ce qui démontre la proposition. 

On voit également que si la courbe ABC coupe l'axe 
des x en des points A, b, c, les points correspondants de 
la courbe intégrale ont leur tangente horizontale {fig. 77). 




En effet, le coefficient angulaire de la tangente en ces 



points est 



dY 
dx 



y = o. 



V. Si la courbe donnée a, une tangente parallèle 
à Ov, V intégrale présente au point correspondant un 
point de rebroussement. 



i8 



CHAPITRE 111 



En eftet, dans le voisinage du point M' la courbe inté- 
grale aura deux branches aboutissant en ce point ; elles 
auront évidemment même tangente M /r F puisque le coef- 
ficient angulaire est égal à l'ordonnée de M. 




Si. au lieu d'avoir une tangente parallèle à Oy, la courbe 
comprend une portion de droite MM,, la courbe inlé- 

Fig. 79. 




grale a deux branches aboutissant en M' qui est un point 
anguleux. 

La différence des coefficients angulaires des tangentes 
est égale à MM,. 



LES INTKGRAPHES. 119 

On voit également qu'à un changement brusque dans 
l'inclinaison de la courbe donnée correspond pour l'inté- 
grale une variation brusque de la courbure. 



INTERPRETATION GEOMETRIQUE DES COURRES INTEGRALES. 
MOMENT STATIQUE ET CENTRE DE GRAVITÉ. 

Le moment statique de l'aire de la courbe ABC par 
rapport à un axe KK' parallèle à O y et d'abscisse a, est 
égal à l'aire de la courbe intégrale du premier ordre 
limitée à cet axe, ou à l'ordonnée correspondante de la 
courbe intégrale seconde (Jig. 80). 

En effet, soit y dx un élément de l'aire ABC; son 
moment par rapport à KK' est 

( a — x ) y dx 
et le moment total 



/ 



(a — x) y dx. 



Or y dx, élant un élément de Taire ABC, est représenté 
par un élément dy K de l'ordonnée G' C\ de la courbe inté- 
grale ; cet élément multiplié par (« — x) sera donc un 
élément de l'aire A'B'G'Cj de la courbe intégrale. 

L'intégrale 

/ (a — x)ydx = I (a — x) dy x 

est donc égale à l'aire k! B' C'C',. 

Traçons maintenant la courbe intégrale seconde A^B^C. 
L'ordonnée G" G* représente l'aire A'B'G'C', , c'est-à-dire 
le moment de l'aire ABCC ( par rapport à KK/. 

On démontrerait de même que le moment deABGG, par 



120 



CHAPITRE II] 



rapport à MM' est représenté par l'aire A, C'B'A', ou par 
l'abscisse correspondante de la courbe intégrale complé- 
mentaire de A'B'C. 

Fig. 80. 




Par rapport à un axe tel que H H', le moment de ABCC, 
aura pour expression 

/ [(a — x)-+- l]y dx — (a — x)ydx-\- l t y dx, 

c'est-à-dire 

aire A/B'C'C, -H aire C h' h\ C' n 

ou encore l'ordonnée h\ h" prolongée jusqu'à sa rencontre 
avec la tangente en C' à la courbe intégrale seconde. 



LES INTKGRAPHES. 121 

Enfin pour un axe quelconque LL', le moment de l'aire 
ABCC, est égal à la somme algébrique des aires hachu- 
rées comprises entre la courbe A' B' G', l'axe LL' et les 
deux droites A'C', , A, C. Si cette somme est nulle le 
centre de gravité de l'aire ABCC, est situé sur LL/. 

Il est facile de voir que cet axe passe alors par le point t 
où la tangente en (7 à la courbe intégrale seconde ren- 
contre la droite A' 7 C'J. 

En efî'et, soit GG' la nouvelle position de LL'. Ut est 
l'intégrale de la droite k! { G'; par conséquent C'C'J repré- 
sente l'aire du rectangle £'', C'G', g x . Or, G"C'j représen- 
tant aussi l'aire A'B'C'G, , on a 

aire du rectangle g\ C'Cj g x = aire À'B'C'C, 

et, comme elles comportent une partie commune, 

aire A' mg y — aire C mg\ . 

Cette propriété des courbes intégrales du premier et du 
deuxième ordre permet de déterminer facilement la posi- 
tion du centre de gravité d'une aire plane quelconque 

MOMENT D'INERTIE. 

Proposons-nous d'obtenir graphiquement le moment 

d'inertie de l'aire ABCG n par rapport à l'axe KK!(fig. 81). 

Le moment d'inertie d'un élément y dx de cette surface 

est 

(a — x)"-y dx, 

et pour toute la surface son expression est donnée par 
l'intégrale 

(a — x)-y dx. 



f< 



CHAPITRE III. 



Traçons les courbes intégrales du premier et du 
deuxième ordre de la courbe ABC. 

L'ordonnée C G',' représentant l'aire de la courbe A' G', 
chaque élément dy 2 représentera un élément de cette aire 



Fia. 81. 




c'est-à-dire un élément du moment statique; en le mul- 
tipliant par (<7 — x), on aura un élément du moment 
d'inertie. Pour avoir l'abscisse correspondant à cet élé- 
ment, menons des extrémités de dy 2 deux tangentes à 
la courbe A' 7 G" : en traçant les verticales passant par les 



u:s intégraphes. is3 

points de contact, on a l'élément correspondant y dx ; 
le (a — x) de cet élément est la distance du point m de 
rencontre des tangentes à l'axe KK/. 

Or l'aire du triangle de sommet m et ayant pour base 
dy 2 est 

-{a — x)dyo= -(a — x) l ydx, 

c'est-à-dire représente la moitié du moment d'inertie de 
l'élément y dx par rapport à l'axe KK'. 

L'aire totale A* (7 G* représente donc la moitié du 
moment d'inertie de la surface ACC|. 

De même A" T représente l'aire A' CE, c'est-à-dire le 
moment statique de A C C { par rapport à MM' et l'aire 
A"TC" la moitié du moment d'inertie par rapport au 
même axe. 

Enfin le moment d'inertie rl "j la surface A BGC, par 
rapport à un axe tel que LL' est représenté par deux fois 
la somme des aires A" ab et ac C et par rapport à un axe 
HH' en dehors de la figure, par deux fois l'aire A^G'J h\h'Ç7 . 

Si maintenant on veut obtenir les moments d'inertie 
sous forme de longueur, il faut avoir recours aux courbes 
intégrales du troisième ordre. 

La courbe intégrale de A" C" est une courbe telle que 
A'" G w , et la courbe intégrale de ( 7 T une parabole tangente 
en G w à Pi'" Q" et ayant son sommet sur la verticale du 
point ij intersection des droites A!' C'[ et C T. 

Le moment d'inertie de la surface ABCG, par rapport 
à KK' est représenté par l'ordonnée G w CJ', et par rap- 
port à LL' par la partie de cet axe comprise entre la 
droite A r// C: et la courbe ATC". 



124 



CHAPITRE III 



CAS DES COURBES FERMEES. 

Si la surface, au lieu d'être limitée à une ordonnée, est 
comprise à l'intérieur d'un contour fermé ABCD, il suffit 
de la considérer comme la différence des deux surfaces 
OABCE et OADGE. 

Fig. 80. 




Soit alors la surface ABCD {jig. 83). Traçons les courbes 
intégrales des deux tronçons ABC et CDA. L'ordonnée C'C, 
représente l'aire du contour ABCD, et l'aire A'B'C'C, D'A 
son moment statique par rapport à EE' '. 

Pour avoir le moment par rapport à 00', il suffit de 
tracer, à partir de G', la courbe intégrale C'A', de la 
partie CDA. L'aire A^C'B'A' représente le moment par 
rapport à 00' de l'aire du contour ABCD. 

Pour avoir les moments d'inertie, traçons les courbes 
intégrales du deuxième ordre. 

L'aire du contour A y C ff C'| représente la moitié du 
moment d'inertie de la surface ABCD par rapport à EE', 
et Taire A"C"A'| la moitié du moment d'inertie par rap- 
port à 0'. 

Si l'on trace les courbes intégrales du troisième ordre, 



-ES INTEGRAPHES. 



120 



on a les moments d'inertie sous forme d'une longueur; 
ainsi le moment d'inertie de la surface ABCD, par rap- 
port à EE', est représenté par le double de la lon- 
gueur C W C',' et par rapport à 00' par le double de la 



longueur A'" A' 



Fie. 83. 




D'une façon générale, si l'on considère un axe quel- 
conque H H/, Taire ABCD est représentée par le seg- 
ment «6, le moment statique par rapport à cet axe, 
par la somme des aires A/ cb et acC, ou par le segment 



I'l6 CHAPITRE III. 

a' b' ; enfin, le momenl d'inertie par rapport an même 
axe est représenté par le double de l'aire b' A" c' C" a! b' , 
on par le double dn segment a"b". 

L'aire b' A" c' G" a' b' , et par suite le moment d'inertie, 
est minimum quand HH 7 vient occuper la position GG', 
c'est-à-dire, d'après ce que nous savons, quand cet axe 
passe par le centre de gravité de la surface ABCD. 

En effet, Taire en question se réduit alors à celle delà 
partie A' f G"m, la surface des triangles mixtilignes tels 
que a' b' m s'annulant pour cette position particulière. 

Si, au lieu dune surface continue, on a affaire à des 
ordonnées isolées, on applique les mêmes méthodes que 
précédemment. 

Soient alors les ordonnées A#, B6, Ce, par exemple. 
La courbe intégrale du premier ordre est un polygone 
(oa\b'B"C G'K 1 ) dont les côtés sont alternativement 
parallèles aux axes de coordonnées (fig. 84). 

Le moment statique par rapport à l'axe vertical KK" est 
égal à l'aire a A b' W C' G' K.' K , et, par rapport à oo' , il 
est égal à Taire oa A6'B"C'CVo. 

Traçons la courbe intégrale du deuxième ordre; elle 
est constituée par une suite de droites inclinées apyH. 
Le segment HK représente le moment statique par rap- 
port à KK", et oH' le moment par rapport à Taxe oo' . 

En traçant la courbe intégrale du troisième ordre A'I, 
on obtient les moments d'inertie. 

L'ordonnée PI représente la moitié du moment d'inertie 
par rapport à K K/'. 

Enfin, par rapport à un axe tel que MM', Je moment 
d'inertie est représenté par deux fois l'aire m na (3y m, 



LES 1NTEGRAPI1KS. I27 

le double du segment pp' compris entre la ligne VV 

parabole IF, qui est la courbe intégrale de la 

droite H H'. 

Fi g. 84. 



ou pai 
et la 




Inté graphe s. 

L'idée première des intégraphes est due à Goriolis, qui 
en a exposé le principe, en 1 836, dans le Journal de 
Lio mille. 

Le projet de Coriolis y est présenté de la façon sui- 
vante : 



128 CHAPITRE III. 

(( Si l'on conçoit qu'un fil lendu s'enroule sur un 
cylindre et que le frottement soit assez fort pour empê- 
cher ce fil de glisser le long de la surface contre laquelle 
il est enroulé, la courbe formée par le fil sur la surface 
du cylindre, développée ensuite sur un plan,, jouira de la 
propriété que la direction de la tangente sera toujours 
celle de la partie du fil, tendue en ligne droite avant 
qu'elle s'enroule. 

» Si donc on peut donner au fil dans cette partie une 
direction qui résulte de l'équation différentielle d'une 
courbe, celle-ci se trouvera tracée sur le cylindre en pre- 
nant pour abscisses les angles compris sur la base du 
cylindre. 

» Cette considération conduit à un tracé assez simple 
de plusieurs courbes. 

» On voit de suite que l'exponentielle, dont l'équation 

est 

dy y dx 

dx a dy 

peut se décrire en enroulant sur un cylindre un fil lendu 
qui passe toujours par un point fixe. Ce point doit être à 
la distance a de la génératrice du cylindre, qui se trouve 
dans le plan tangent mené par ce point. 

u Si l'on avait l'équation différentielle 



ou, en posant -r— = a (./• , 



r^ = ?(»), 



LES INTEGRAPHES. 



129 



on trouverait encore assez facilement la courbe qui répond 
à cette équation au moyen du relief de la courbe dont 
l'ordonnée est o(x). 

» Pour cela, il suffirait d'avoir une règle AMX, dont 
un coté AX serait droit et l'autre AM formerait la courbe 
dont l'ordonnée serait cp (x) — /*, r étant le rayon du 
cylindre. 

» Ensuite, on ferait tourner le cylindre en appliquant 
contre sa base la règle AX. Si le fil qui s'enroule reste 
dans le plan vertical MN, ce qui est facile à obtenir en 

Fie. 85. 




l'appliquant contre un plan fixe et qu'il passe aussi sur la 
courbe AM en M, il est clair qu'il formera sur le cylindre 
une courbe telle qu'en se déroulant sur le plan, elle 
satisfait à l'équation différentielle ci-dessus, puisque la 
sous-tangente serait égale à cp {x), x étant l'abscisse 
mesurée sur la base circulaire du cylindre ('). » 

Les principes qui ont été utilisés dans la construction 
des intégraphes sont une application directe des considé- 
rations exposées par Coriolis. 



( 1 ) Abdank-Abakanowicz, 

DE M. 



Les intégraphes et la courbe intégrai 

9 



i3o 



CHAPITRE III. 



Supposons en effet {fig- 86) une roulelte R, à bords 
minces, appliquée sur la surface du cylindre au point où le 
fil tendu s'en détache, et de l elle sorte que son plan soit 
normal au plan tangent au cylindre en ce point. Si l'in- 
tersection de ces deux plans coïncide avec la direction 
du fil, c'est-à-dire si le plan de la roulette lui est cons- 
tamment parallèle, celle-ci, dans le mouvement de rota- 
tion du cylindre, enveloppera sur sa surface la même 
courbe C que celle précédemment définie. 11 suffit donc, 
à l'aide d'un mécanisme approprié, de donner à la rou- 
lette une orientation convenable, résultant de l'équation 
différentielle de la courbe. 

Si le cylindre est remplacé par un plan, la courbe G 
devient l'enveloppe des traces du plan de la roulette sur 

Fig. 86. 




ce plan, la direction de cette dernière étant toujours 
déterminée par l'équation différentielle de la courbe. 

Au lieu de considérer la courbe intégrale comme le 
lieu des points de contact d'une roulette sur la surface 
d'un cylindre ou d'un plan, on peut chercher à la con- 



LES INTÉGRAPHES. l3l 

struire directement, en disposant un mécanisme à l'aide 
duquel un style trace une courbe dont les ordonnées 
soient à chaque instant égales ou proportionnelles à 

l yclx. Jl suffit pour cela que le style se déplace d'une 

quantité proportionnelle à l'angle dont a tourné la rou- 
lette intégrante d'un planimètre de Wetli, par exemple. 
C'est d'après ce principe que Zmurko a construit son 
intégraphe, vers 1861. 

INTÉGRAPHE DE ZMURKO ( l ). 

Cet appareil est disposé de la façon suivante : 

Le long d'une règle AA', placée parallèlement à l'axe 

des #, se meut un disque P orizontal, mobile autour de 

l'axe vertical passant par son centre. 

Fig. 87. 











T' 


T 








n 






^—^_ 






n 










/ \ 


^ ^ 












/ f "* n R 


r^ 




1 


E 






wDr 


E" 


1 




H 


V p / 


\ 


H' 












f; 


î 

F 


t 









Ce mouvement est commandé par un galet g solidaire 
du disque et roulant contre la règle. 



( x ) Décrit en 1884, dans le « Cosmos ». 



l32 CHAPITRE III. 

Deux tiges T, T 7 , parallèles à l'axe des y, sont situées de 
part et d'autre du disque et portent chacune un traçoir, 
l'un servant à suivre le contour de la courbe donnée, 
l'autre devant tracer sa courbe intégrale. 

La tige T porte un fil tendu, enroulé sur une poulie //, 
solidaire elle-même d'une seconde poulie/?. 

Une tige H H', parallèle à xx\ est fixée à ses deux 
extrémités dans des paliers supports EE' et peut recevoir 
un mouvement de Iranslation suivant sa direction, par 
l'intermédiaire d'un fil tendu s'enroulant sur p. Les 
bouts de ce lil sont fixés aux paliers EE'. 

Celle tige porte la roulette intégrante R reposant sur le 
plateau et peut ainsi tourner autour de son axe; elle 
passe en outre sur des galets dans un fourreau F, soli- 
daire d'une poulie p" , autour de laquelle est enroulé un 
fil tendu dont les extrémités sont fixées à la tige T'. 

Dans son mouvement de translation parallèlement à xx ', 
la tige HH 7 peut passer librement dans le fourreau, mais 
si elle tourne autour de son axe, elle entraîne la rotation 
de ce dernier et, par suite, celle de la poulie //. La 
tige T ; se déplace alors parallèlement à yy' '. 

Le mouvement élémentaire du traçoir F peut être 
ramené à deux déplacements élémentaires dx et dy; de 
même celui de F' peut être ramené au même déplace- 
ment dx et à un autre dX . 

Calculons la valeur de ce dernier. 

Donnons à Fie déplacement^; la poulie/?', de rayon ;•', 
tourne de dy, tel que 

dy 



dy = /•' do ou do = 



LES INTKGRAPHES. 1 33 

La poulie/?, de rayon /•, ayant tourné du même angle, 
imprime à la tige HH 7 un mouvement dl parallèle à xx 1 \ 
dont la valeur est 

dl = r dy. 

(i) dl=-^dy. 

La distance de la roulette R au centre du disque a donc 
varié de cette même quantité. 

Imprimons maintenant à F un mouvement parallèle 
à xx' ; pour cela, déplaçons tout l'appareil de dx. 

Le galet g, de rayon a, tourne de r/ l F, tel que 

dv= **: 

a 

Le plateau P, ayant tour j du même angle, entraîne la 
roulette qui développe alors la quantité 

p du = l dW, 
dx 



dm = / — • 



La tige HH ; et la poulie p" tournent du même angle : 
soit r" le rayon de cette dernière. La longueur de l'arc 
développé suivant la circonférence d'enroulement du fil 
représente évidemment le déplacement du traçoir F r , 
c'est-à-dire dY. 



Or, on a 



d'où 



p a 



dY = — dx. 
pa 



134 CHAPITRE III. 

De l'équation (i), on tire 

la constante étant nulle, si l'on admet que la roulette est 
au centre du plateau quand y = o. 
On a alors 

dY = — — y dx , 
pr a J 

d'où finalement 

Y = K Çydx^-Ys!. 

Le style F' trace donc bien la courbe intégrale de la 
courbe donnée. 

1NTÉGRAPHE DE BOYS. 

La partie essentielle de cet appareil est une roulette 
dont le plan reste constamment parallèle aux directrices 
de la courbe donnée. C'est une application directe du 
principe énoncé dans l'étude des courbes intégrales (pro- 
priété de la directrice). 

Il comporte une planchette P, qui peut se déplacer 
parallèlement à l'axe des x le long d'une règle A A/ . Cette 
planchette est munie d'une fente parallèle à Oy dans 
laquelle glisse un traçoir avec lequel on suit le contour 
de la courbe; afin de le faire plus commodément, la fente 
est formée par la juxtaposition de deux lames de verre. 

L'axe du traçoir sert en même temps d'axe d'articula- 
tion à deux liges T, ï ; . 



LES INTEGRAPHES. 



135 



L'une, T, passe dans un fourreau articulé F; l'autre 
coulisse également dans un fourreau F', fixé sous une 
poulie p qui commande le mouvement de la roulette R. 

Cette dernière est fixée à un chariot qui peut coulisser 
dans une rainure rr' parallèle à Oy, et son orientation a 





T'/ 




NT 






A 


\f 


P 


A' 








\ 


L 


1 M 



lieu par l'intermédiaire de trois poulies /?, //, p" de 
même diamètre, autour desquelles sont enroulés deux 
fils tendus. 

Si l'axe de la poulie p est sur l'axe des x, et l'ordonnée 
de la courbe construite à une échelle telle que la dislance 
du point F' à l'axe de la fente soit prise pour unité, l'in- 
clinaison de la tige T' sera constamment égale à — - Il 

suffit alors que la roulette soit parallèle à T' pour que la 
trace de son plan sur la feuille du dessin enveloppe la 
courbe intégrale (7. 



loi) CHAPITRE III. 

INTÉGRAPHES d'aBDAXK-ABAKANOWTCZ. 

Abdank a étudié spécialement la construction des inté- 
graphes et a imaginé de nombreux dispositifs pour la 
réalisation de ces appareils. 

Comme dans la plupart des intégrateurs, la partie essen- 
tielle est une roulette qui s'appuie sur une surface et peut 
rouler librement sans glissement en suivant toujours la 
direction de son plan. La condition à laquelle est assujettie 
cette roulette est d'avoir son plan constamment parallèle 
aux directrices de la courbe. Les mécanismes imaginés 
dans ce but peuvent donner lieu à de nombreuses combi- 
naisons. 

Dans les premiers appareils d'Abdank, la roulette 
appuyait fortement sur la génératrice supérieure d'un 
cylindre C sans pouvoir se déplacer le long de cette géné- 
ratrice; elle était fixée dans un étrier E, solidaire d'un 
bras dont l'extrémité F portait un traçoir destiné à suivre 
le contour de la courbe donnée; ce traçoir était fixé à un 
double fourreau articulé pouvant glisser à la fois sur le 
bras et sur une tige G parallèle à Oy. 

L'ensemble (cylindre C et tige G) était monté sur une 
planchette mobile, glissant parallèlement à l'axe des x le 
long d'une seconde planchette fixe disposée sur la feuille 
de dessin. Dans ce mouvement, le cylindre tournait autour 
de son axe, le long duquel il se déplaçait sous l'action de 
la roulette. 

La rotation du cylindre était produite à l'aide d'une 
poulie calée sur son axe autour de laquelle s'enroulait un 
fil tendu entre deux supports de la planchette fixe. 



LES INTEGRAPHES. 



i37 



II est facile devoir que le déplacement du cylindre sui- 
vant son axe représente la variation de l'ordonnée de la 



courbe intégrale. 




Soit ds le développement de la roulette 



PP 



ds = p dm. 



La quantité dont se déplace le cylindre parallèlement 

à Oy esl 

dl = ds sina, 

et il a en même temps tourné de db, tel que 

r dy = ds cosa. 

/• <r/co = K dx. 



Or 

Donc 



ds sin a dl 

tança = — 



ds cos a K dx 

dl = K tança dx. 



38 



CHAPITRE III. 



En prenant pour axe des x la projection de la droite 
perpendiculaire à G passant par le point autour duquel 
pivote rétrier E, on a 

y = 8 tanga, 
d'où finalement 

dl = — y dx. 



Dans ces appareils, un chariot H, entraîné par une 
poulie s'engageant dans une gorge gg taillée suivant une 
circonférence du cylindre, se déplaçait parallèlement 
à Oy. Un traçoir, fixé à ce chariot, décrivait la courbe 
intégrale. 

Fig. 90. 



On voit que l'ensemble, cylindre et roulette, se com- 
porte comme un système de vis à pas variable dans 
lequel la vis, c'est-à-dire le cylindre, se déplacerait sui- 
vant son axe, tandis que l'écrou, figuré par la roulette, 



LES 1NTEGRAPIIES. 



I 39 



serait fixe. Les filets de lavis seraient constamment paral- 
lèles aux directrices. 

On peut aussi concevoir un appareil dans lequel le 
cylindre ne se meut pas parallèlement à yy' et reçoit seu- 



Fig. 91, 



^-"N 




lement un mouvement de rolation autour de son axe. La 
roulette entraînée dans ce mouvement se meut alors sur 
la génératrice supérieure du cylindre, pendant que son 
plan reste parallèle aux directrices. 

On a la disposition schématique de la figure 90. 

Parmi les systèmes destinés à assurer l'orientation de la 
roulette, nous citerons les deux suivants qui ont été 
appliqués dans la construction des appareils étudiés par 
Abdank, en collaboration avec M. Napoli, ingénieur au 
chemin de fer de l'Est. 

La première solution consiste à employer un parallélo- 
gramme articulé ABCD {fig. 91) dont un côté est fixe, 
tandis que la branche AD est constamment parallèle aux 
directrices. 



40 



CHAPITRE III. 



Un chariot, formé également d'un parallélogramme 
articulé a! b' c' d' , se déplace à l'aide de galets roulant 
dans des rainures creusées sur les branches AB, CD. La 
roulette est fixée dans un étrier solidaire de la tige b' c' et 
un crayon placé en F trace la courbe intégrale. 

Dans la seconde solution (fig. 92), l'orientation de la 

Fig. 92. 

A 1 





roulette a lieu à l'aide d'un double jeu de roues d'angle 
égales J, J', dont l'un J' peut se déplacer le long de Taxe 
commun des roues R, R/. 

Dans cette translation, la roue R' peut toujours être 
entraînée par l'arbre AA/, à l'aide d'un long clavetage 
par exemple; elle tourne donc du même angle que la 
roue R, et, par suite, le mouvement angulaire de M' sera 
le même que celui de M. Il s'ensuit que la roulette L, 



LES INTÉGRAPHES. 1 4 l 

fixée à la roue M', sera parallèle à la directrice D coulis- 
sant dans un fourreau F solidaire de M, si le parallélisme 
a été assuré une fois pour toutes. 

INTÉGRAPHES ABDANK-NAPOL1. 

Premier modèle. — Dans un premier intégraphe con- 
struit par Abdank et Napoli, les deux courbes étaient 
tracées sur un cylindre; c'était une réalisation de la dispo- 
sition schématique indiquée par la figure g3. 

L'appareil avait été spécialement établi dans le but 
d'obtenir des courbes continues sur une bande de papier 
se déroulant sur un tambour cylindrique; l'orientation de 
la roulette était assurée à l'^de d'une liaison à parallélo- 
gramme articulé. 

Intégraphe Abdank-Napoli à roues d'angle ( 1 ). — 
L'appareil en question a été construit en vue d'obtenir 
les courbes sur une même surface plane. 

Il est disposé de la façon suivante (fig. 9/4) • 

Un chariot, dont la grande dimension est parallèle 
àyy f , se déplace dans la direction de l'axe des x 1 à l'aide 
de deux roues à bords minces roulant dans la rainure 
d'une règle parallèle à cet axe. Le troisième point d'appui 
de l'ensemble est constitué par la roulette. 

Cette dernière est fixée dans un étrier solidaire de la 
roue dentée JVF, portée par un second chariot G qui peut 
glisser dans la direction y y 1 le long des tiges F, F'. La 



(!) Cet appareil figure dans la collection du Conservatoire des Arts 
et Métiers. 



142 



CHAPITRE III. 



roue dentée IV est solidaire d'un fourreau G pouvant 
tourner .dans deux paliers K, K' fixés au chariot, et 
l'ensemble, guidé par des galets, est mobile le long de 



l'arbre cannelé A A 



Fig. 93. 




Cet arbre, sur lequel est calée la roue R, communique 
donc à la roulette les mouvements de la directrice LL ; 
celle-ci coulisse entre des galets de façon à passer tou- 
jours par le centre de la roue M, et est articulée en E à 
une pièce H guidée dans la direction de l'axe des y par la 
tige TT 7 . Cette pièce porte le traçoir D' destiné à suivre 
le contour de la courbe donnée; celui-ci est fixé à un cou- 
lisseau P qu'on peut déplacer le long de H et assujettir 
à l'aide d'une vis V. Ce n'est donc pas, en réalité, la 
tige LL qui est la directrice, mais bien une droite paral- 
lèle passant par le point D'. Il s'ensuit que l'axe des .r, 
au lieu de passer par le centre de la roue M, est déplacé 
d'une hauteur égale à DD'. 



LES INTEGRAPHES. 



143 



Le tire-ligne, qui trace la courbe intégrale, est fixé 
en Q au chariot G, et il est orienté par un petit parallélo- 
gramme articulé de façon que sa fente soit toujours paral- 
lèle au plan de la roulette. 

Fi"g. 94- 



f(jc) cLr + C 




f(x) 



La tige TT ; peut être déplacée parallèlement à elle- 
même dans la direction de l'axe des x\ on peut ainsi faire 
varier la constante de l'appareil, constante qui est repré- 
sentée par la distance du point D au centre de la roue M. 

On peut remarquer qu'avec cet appareil les ordon- 
nées des courbes peuvent atteindre presque toute la 
hauteur du châssis; de plus, la courbe donnée et la courbe 
intégrale peuvent chevaucher l'une sur l'autre sans que 
le chariot portant la roulette gène les mouvements. 



i.44 



CHAPITRE III. 



INTEGRAPHES ABDANK-CORADI. 



La maison Coradi a construit plusieurs modèles d'inté- 
graphes dans lesquels on retrouve les dispositions essen- 
tielles des appareils d'Abdank. 

La figure 90 représente schématiquement un de ces 
appareils ( ' ). 

Il comprend un cadre Q reposant sur trois rouleaux, 

Fig. q5. 



F^- 




r, /', /*, et mobile dans la direction de l'axe des x. Deux 
chariots C, G se déplacent sur les grands côtés de ce cadre 
c'est-à-dire parallèlement à yj' . Le chariot G porte un 
traçoir F destiné à suivre la courbe donnée et une pointe 
qui est engagée dans la fente longitudinale d'une règle L; 
celle-ci est mobile d'autre part autour d'une seconde 
pointe fixée en O à la traverse médiane MM' : Cette 



( l ) Cet intégraphe est exposé dans les galeries du Conservatoire des 
Arts et Métiers. 



LES INTEGRAPHES. 1/|5 

règle conslittie la directrice de l'appareil. Le chariot 
intégrateur CJ porte la roulette R parallèle à L et le tire- 
ligne traçant la courbe intégrale. 

Un parallélogramme P, dont un coté est solidaire d'un 
petit chariot G glissant le long de la règle, assure le paral- 
lélisme de cette dernière avec le plan de la roulette. 

On voit de suite que le lire-ligne tracera une courbe 
intégrale de la courbe décrite par le traçoir F. 

INTÉGRAPHE ACTUEL DE LA MAISON CORAD1. 

La figure 96 représente le nouveau dispositif de la 
Maison Coradi. 

L'ensemble se compose d'un cadre formé dedeux longues 
règles parallèles L, \J séparées par un faible intervalle. Les 
trois points de contact avec le plan sont constitués par les 
deux rouleaux /•, /', montés sur un même axe parallèle 
aux règles et par la pointe du traçoir. 

L'appareil se déplace dans la direction de l'axe des x. 

Comme dans le modèle précédent, deux chariots W , 
W' sont mobiles le long des deux règles formant le châssis 
de l'intégra plie. 

Le chariot conducteur W porte la règle graduée B, 
le traçoir t destiné à suivre le contour de la courbe donnée, 
et l'axe vertical antérieur M de la règle directrice D. 

Le chariot intégrateur W 1 est muni d'un bras auquel 
est fixé le tire-ligne et un cadre mobile G portant la 
roulette. 

Au milieu du grand cadre se trouve le second axe de 
la règle directrice qui glisse dans un manchon g porté par 

DE M. 10 



l'analyse harmonique et les analyseurs. i 47 

cel axe; un chariot W 2 , mobile sur la règle, est relié au 
cadre C au moyen d'un parallélogramme articulé, destiné 
à maintenir le plan de la roulette constamment parallèle 
à la règle directrice. 

La base de l'appareil est la distance des deux axes de 
rotation de la directrice, quand celle-ci est perpendicu- 
laire à la grande dimension du châssis. On modifie In valeur 
de cette base en déplaçant l'axe antérieur M; à cet efifet, 
un manchon mobile N, solidaire de la règle directrice, 
peut coulisser sur la règle graduée B et être fixé au point 
voulu à l'aide d'une vis de pression. Un vernier fixé au 
manchon permet d'apprécier le -^ de millimètre. 

La règle L' est munie ''une graduation et le chariot 
intégrateur porte également un vernier à l'aide duquel on 
peut lire le résultat final de l'intégration, comme avec un 
plani mètre ordinaire. 



CHAP1TRK IV. 

L'ANALYSE HARMONIQUE ET LES ANALYSEURS. 



Généralités. 
série de fourier. analyse harmonique. 

Fourier a démontré que toute fonction périodique de 
fréquence i peut être décomposée en une série de fonc- 
tions périodiques simples de fréquence i, 2, 3, .... Ces 
fondions sont des fonctions de sinus et de cosinus, de 



CHAPITRE IV. 



telle sorte que la fonction périodique j/- = /*(9) peut se 
mettre sous la forme : 

y — A -f- A t cosO -h A 2 cossO -h . . . 
-+- Bt sinO -+- B-2 sin 2O -h. . .. 

Pour que cette série soit complètement déterminée, il 
faut connaître la valeur des différents coefficients 

A , A l5 A 2 . ... ; B,, B,, .... 

Cauchy a démontré que ces coefficients étaient donnés 
par les intégrales ( • ) : 

A o = — / y d§, 

~ -21Z 

A, = 1 / jkcosO dU, 
i 

. r i7Z 

(1) ( A„= - / ycosnOdft; 

'" «• 

B! = - f jKsinO rfô, 



B, 



- j ysinn 



OdO. 



La série de Fourier peut être donnée également sous la 
forme 

y — Go'-i- C, sin ( -T- o, ) 

-h G 2 sin (2 -h <p 2 ) H-. • «H- G« sin (/i6 -j- »„). 



(') L'expression des coefficients A , A p ..., A„; B v ..., B n de la série 
de Fourier s'obtient facilement delà façon suivante: 
Multipliant les deux membres du développement par cos n6_et inté- 



l'analyse harmonique et les analyseurs. 149 

En développant les sinus des différents termes, on a im- 
médiatement les relations reliant les coefficients de cette 

grant de o à 21c, on a 

I y cosnft dft 

COS/10 rfô 

■+■ A, / cos6 cos/îO dft + . . .+ A„ / cos 2 /i6 c/6 
J <s - 

^2 7t .-.2 71 

-f- B, / sin8 cos/16 rfô -+-...+ B„ / sinnô cos/iô dô, 



«^ 



c'est-à-dire pour le second membre une somme de termes ayant l'une 
des deux formes 



A / cos/?6 cos/16 dft, 
B 1 sin/>0 cos/iO c/6. 



Or il est facile de vérifier qu'entre les limites o et 2-, toutes ces inté- 
grales sont nulles sauf celle correspondant au terme A pour lequel p = n. 
La valeur de cette intégrale étant égale à tu, on a 



2 71 ^ 2 71 



! y cos/?8 db = A ;1 / cos"«6 db = A ra 7r, 
^0 '-'0 

\ n = — I y cos/t6 db. 




d'où 

71 



En multipliant par sinn6 et intégrant entre les mêmes limites, on 
aurait de même la valeur du coefficient B ;| 

B„= - / y sinnO dft. 

~ «.' 

La valeur du coefficient A s'obtient en intégrant de o à 2-, 

,271 ^27U 



~ 2 7T p 2 71 

/ ydb = A db = \ 

A = — / ydb. 



2 1t, 



CHAPITRE IV. 



dernière forme aux coefficients A ( , ..., A„, B 4 , ..., B„, 
du premier développement. 
On a 



y = C -r- G! coscpt sin6 H- Gj sincp, cos6 - 
-+- G„ coso,, sin /i0 -+- G n sincp„ cos/i 1 



d'où 



i r 

G 1 coscûi=— / y sin6 û?8 = A'., 

G ( si n cs t = — / y cos é/0 = B \ , 

'" « o 
î 

i r 271 

C,jCoso„=- / y sin nO dft = A' n 

'* «■ o 

i r 2u 

G,, sin a>„ = - / y cosniï d() = B', n 
« o 

b;, 

tang?„ = — j, 



o,, o 2 , •••) ®/i sont appelées les phases des diverses fonc- 
tions simples. 

La série de Fourier trouve son application toutes les 
fois qu'il s'agit d'étudier un phénomène périodique; on 
en rencontre de nombreux exemples en électrotechnique, 
plus parliculièrementdans l'étude des courants alternatifs 
et dans l'étude des mouvements de machines, de la cons- 
truction des navires, des phénomènes naturels, comme le 
mouvement des marées, etc. 

Les courbes expérimentales obtenues présentent rare- 
ment le caractère de la périodicité. Une courbe peut 
présenter de nombreuses ou de grandes aspérités et êlre 
considérée comme s'écartant beaucoup de la sinusoïde, 



l'analyse harmonique et les analyseurs. i5i 

alors qu'elle en est, en réalité, beaucoup plus proche 
qu'une autre courbe de formes moins tourmentées. Tout 
dépend en effet de l'amplitude et delà phase, et la super- 
position de ces éléments peut, suivant les cas, amener à 
considérer comme non périodique un phénomène qui l'est 
réellement. 

L'analyse harmonique a pour but, étant donnée une 
courbe, de la décomposer en ses harmoniques simples, 
c'est-à-dire de déterminer les courbes, dont la superpo- 
sition reproduit précisément la courbe donnée. 

Cela revient à connaître les quantités 

A , Ai, . . ., A„ Bi, . .., B„; o u . . ., cp„. 
Trois méthodes se présentent naturellement à l'esprit : 

i° La méthode par le calcul direct; 

2° Les procédés graphiques; 

3° Les procédés mécaniques qui nécessitent l'emploi 
d'appareils spéciaux permettantd'effectuer mécaniquement 
les intégrations indiquées par les relations (i). 

Les formules de Gauchy donnent la méthode à suivre 
pour calculer tous les éléments d'une courbe périodique 
donnée. On multiplie les ordonnées de la courbe succes- 
sivement par celles des sinus et cosinus des fréquences 
i, 2, 3 .. ., et l'on intègre chacune des nouvelles courbes 
entre les limites d'une période; en multipliant les inté- 
grales ainsi obtenues par — > on aies valeurs des différents 

coefficients. 

Ces opérations sont toujours longues et laborieuses ; 



5l CHAPITRE IV. 



aussi y a-t-il intérêt, dans les applications, à remplacer le 
calcul direct par les méthodes graphiques ou mieux par 
les procédés mécaniques. 



PROCEDES GRAPHIQUES. 

a. La méthode suivante, publiée par M. Basil Widmore 
dans V Elecli'ician de Londres (*), fournit un moyen 
commode de déterminer en grandeur et en phase les com- 
posantes de fréquences successives. 

Considérons le tracé d'une période complète de la courbe 
périodique donnée X. Si l'on divise la période en m parties 
égales, on obtient, en superposant ces différentes parties 
par addition de leurs ordonnées, une nouvelle courbe 
débarrassée de tous les termes dontla fréqu ence rapportée 
à celle de la courbe complète n'est pas un multiple de m. 

Ce résultat peut s'expliquer assez facilement de la façon 
suivante {fig. 97) .' 

Supposons que la courbe donnée X soit le résultat de 
l'addition des quatre sinusoïdes 1, 2, 3, 4 dont les fré- 
quences sont relativement comme 1, 2, 3, 4- Partageons 
toute la figure I en deux sur toute sa hauteur suivant la 
ligne yy\ et superposons les deux moitiés ainsi obtenues. 
On a ainsi la figure II, et l'on voit immédiatement que, par 
addition des deux tronçons obtenus pour chaque courbe, 
les sinusoïdes 1 et 3, dontla fréquence n'est pas^un mul- 
tiple de 2, disparaissent, tandis que les sinusoïdes 2 et 4 
subsistent avec des ordonnées dont les valeurs sont doubles 

(*) L 'Éclairage électrique, t. V, 1890. 



L ANALYSE HARMONIQUE ET LES ANALYSEURS. 



153 



de celles qu'elles avaient clans la courbe originale. On 
obtient alors la figure IÏI et, en réduisant de moitié les 
ordonnées, on a finalement en pointillé la courbe Y débar- 
rassée des termes de fréquence i et 3. 





Fig. 97- 

1 s- 


Il III 




7 \ 

/ 


( A 


7 \j/[ 








J 7\J 


AÂ A fi 


/l 


f 
1 




'S 


{ ' n 

A 1 


y i i 



En répétant la même opération, par une nouvelle divi- 
sion par 2, on déterminerait en amplitude et en phase la 
composante de fréquence 4 de la courbe primitive. 

La division de la courbe par 3 aurait donné immédia- 
tement la composante 3. 

Les propriétés précédentes peuvent d'ailleurs se dé- 
montrer par un calcul simple sur lequel nous n'insisterons 
pas. 



134 CHAPITRE IV. 

On voit que ce procédé est d'une application commode; 
la précision des résultats dépend du soin avec lequel sont 
dessinées les courbes et il y a intérêt, à ce point de vue, 
à les tracer à grande échelle. 

b. Méthode de Clifford{ { ). — Elle est basée sur la 
remarque suivante : 

Considérons l'expression générale d'un coefficient A n 

par exemple (-) 

i f' 2 * 
A„=— / ys'mnxdx. 

1 Jq 

Si l'on pose 

(i) sin nx dx = dX, 

la détermination du coefficient revient à l'évaluation de 

Taire d'une courbe ayant pour ordonnées y et pour 

abscisses les valeurs de X résultant de la relation (i)> 

c'est-à-dire 

X = — h — Q.o%nx\. 
n L J 

Si donc d'une longueurdonnéeonretranche successivement 
les projections de cette longueur sur une droite sous les 
différents angles nx, on obtient les abscisses correspon- 
dantes X de la courbe dont l'intégration donnera la valeur 
du coefficient A„. 

Le coefficient B n s'obtient de la même façon, mais en 
projetant sur une droite perpendiculaire à la première. 



( 1 ) L'Éclairage électrique, t. IV, 1895. 

(-) On remarquera que, dans l'exposé de cette méthode, le coefficient 
du terme en sinus est désigné par A„ au lieu de B„. 



l'analyse harmonique et les analyseurs. i55 

Le professeur Perry a appliqué ce procédé de la façon 
suivante : 

Divisons la période en 36 parties égales et supposons 
connues les valeurs de la fonction à ces instants. Pour 
trouver les différents coefficients, choisissons une longueur 
MN comme diamètre d'un cercle dont la circonférence 



Fig. 98. 




de 36 0m de longueur est divisée en 36 parties égales numé- 
rotées o, 1, 2, 3 ... 35. En abaissant de tous ces points 
des perpendiculaires sur le diamètre, on a sur MN les 
points correspondants (fig. 98). 

Su r une verticale PQ on porte successivement les valeurs 
de la fonction aux instants o, 1, 2, .... On a ainsi des 



l56 CHVPITRE IV. 

points o, i , 2, 3, . . ., 35 (non tous marqués sur la figure), 
et, en élevant une perpendiculaire en 2 points correspon- 
dants des axes PQ et MN, on obtient un point m d'une 
courbe A ou d'une courbe B, suivant les cas. 
Pour A, par exemple on prendra : 

Ordonnées sur PQ, o, i , 2, 3, . . .. 
Abscisses sur MN, o, 1, 2, 3, . . .. 

Pour B, il faut prendre dans le plan du cercle l'origine 
sur un diamètre perpendiculaire à MN. 
On aura donc : 

Ordonnées sur PQ, o, 1, 2, 3, .... 
Abscisses sur MN, 9, 10, 11, 12,.... 

Si l'on passe aux A 2 et B 2l on voit immédiatement qu'il 
faut prendre sur MN les [joints numérotés de 2 en 2 à 
partir de l'origine, ce qui donne, 

Pour A 2 : 

Ordonnées sur PQ, o, 1 , 2, 3, .... 
Abscisses sur MN, o, 2, 4> 6, . . .. 

Pour B, : 

Ordonnées sur PQ, o, 1 , 2, 3, . . .. 
Abscisses sur MN, g, 11, i3, i5, .... 

On a ainsi une série de courbes fermées dont l'aire per- 
met de calculer la valeur des coefficients; [si la circon- 
férence du cercle dont MN est le diamètre a /centimètres, 

il faut diviser les aires ainsi obtenues par — , n ayant suc- 
cessivement les valeurs 1, 2, 3, . .., n. 



L ANALYSE HARMONIQUE ET LES ANALYSEURS. I3J 

PROCÉDÉS MÉCANIQUES. 

Il nous reste à examiner comment le problème de l'ana- 
lyse harmonique peut être résolu mécaniquement; les 
appareils qui ont été réalisés dans ce but forment une 
catégorie d'intégrateurs auxquels on a donné le nom 
iï analyseurs harmoniques et dont nous allons décrire 
les principaux types. 

Analyseurs harmoniques. 



ANALYSEUR DE LORD KELVIN. 



C'est le premier appareil de ce genre qui ait été réalisé ; 
il présente une application directe d'une méthode géné- 
rale pour le calcul de l'intégrale du produit de deux fonc- 
tions qui a fait l'objet d'une Communication à la Société 
royale de Londres. Le « Meteorological Office » de cette 

Fig. 99- 




ville s'en sert pour déterminer les facteurs périodiques 
dans les variations des différents éléments météorolo- 
giques. 

Considérons un disque A mobile autour d'un axe per- 
pendiculaire à son plan passant par son centre, et une 



l58 CHAPITRE IV. 

sphère S se déplaçant suivant un rayon en restant toujours 
tangente au disque et à un cylindre C, mobile autour de son 
axe, dont les génératrices sont parallèles à ce rayon. 

Si l'on donne au disque une rotation élémentaire repré- 
sentée par 

9(0)^0, 

et si la distance du point de contact de la sphère au centre 
du disque est représentée par 

+ («), 
le cylindre tournera de dtù tel que 



el en intégrant 



o)= fx«p(6)<K8) 



di). 



L'angle w dont aura tourné le cylindre donnera par 
conséquent la valeur de l'intégrale. 

Ce principe est identique à celui du planimètre à rota- 
tion de J. Thomson décrit précédemment. 

La rotation du disque pourra se faire de la façon sui- 
vante : 

Construisons sur un cylindre la courbe 

Y= / <?<0)rfO, 

les ordonnées étant comptées suivant les génératrices, et 
les 8 suivant la circonférence (fig. ioo). Si, à l'aide d'une 
pointe faisant partie d'une crémaillère engrenant avec un 
pignon denté solidaire du disque, on suit cette courbe, en 



LANALYSK HARMONIQUE ET LES ANALYSEURS. l5o. 

maintenant la pointe sur la génératrice supérieure du 
cylindre, il est évident que, quand celui-ci tournera de <:/8, 
la pointe et par suite la crémaillère se déplaceront de 

dY = ©(6)rf8. 

Le disque tournera alors de 

X<p(6)</8. 

Le déplacement de la sphère peut s'effectuer à l'aide 

Fi g. 1)0. 




Y=J 0( f (6) d 



d'une fourche solidaire d'une tige terminée par une pointe 
qu'on maintient constamment sur la génératrice d'un 
cylindre parallèle au précédent. 

Si l'on trace sur ce cylindre la courbe 

les ordonnées étant comptées suivant les génératrices, et 
les abscisses sur la circonférence, et si l'on s'arrange de 
façon que le point de contact de la sphère soit au centre 
du disque quand la pointe est sur l'axe des 8, la distance 
du point de contact au centre sera égale à y pendant la 
rotation du cylindre; il suffit pour cela de maintenir la 



i6o 



CHAPITRE IV. 



pointe sur le point de la courbe passant sur la génératrice 
supérieure. 

Il résulte de ce qui précède que pour réaliser l'appareil, 
il faudrait autant de mécanismes qu'on veut calculer 
de coefficients; chaque mécanisme comprenant : d'une 
part, disque, sphère et cylindre enregistreur ; d'autre part, 
deux cylindres parallèles ayant même déplacement angu- 
laire et sur lesquels sont tracées les courbes y =f{ 9) 
(déterminées expérimentalement), et 



/ sin 7i6 dO ou / cos n 



OrfO. 



servant respectivement à guider le déplacement des sphères 
et à produire la rotation des plateaux. 

Pratiquement, on ne trace la courbe y =/(9) que sur 
un seul cvlindre qui sert à la manœuvre simultanée de 
toutes les sphères; à cet elFet, la pointe est reliée à toutes 
les fourches qui se déplacent par conséquent de la même 
quantité. 

Fie. loi. 




Quant aux courbes /sin n 9 d§ et / cos/^9 rfO on évite de 

les construire, à l'aide de la disposition suivante : 

La crémaillère C est reliée, par une coulisse qui lui est 



l'analyse harmonique et les analyseurs. 161 

perpendiculaire, à un point P de la circonférence du 
cylindre portant la courbe y =/*(9) (fi g. 101). Sil'on prend 
le rayon du cylindre pour unité, la longueur OH représente 
sinÔ quand P se déplace de A vers B, A étant l'origine des 9. 
Si au début P est en B, OH représente alors cos9. Le 
mouvement élémentaire de la crémaillère et par suite 
celui du disque seront donc proportionnels à cosG^/B 
ou sin 9 d§. 

Pour avoir maintenant un déplacement élémentaire 




OP~:?r P 



cosA*9<i9 ou sin/i9tf?9, il suffit de relier la crémaillère 

correspondante, par un dispositif identique, à un point 

fixe d'une roue faisant n tours pendant que le cylindre 

en fait i, la distance de ce point fixe P n au centre étant 

OP i 

égale à — c'est-à-dire - puisque OP a été pris pour unité. 

Tl est évident que le déplacement élémentaire de la cré- 
maillère devient alors 

— cos/iôd/iô ou bien — sin nftdnft, 
n n 

c'est-à-dire 

cosnQdO ou sin/z9d6. 

DE M. II 



l6l CHAPITRE IV. 

Le disque a donc bien dans les deux cas le déplacement 
voulu. 

Il est facile de se rendre compte que cet appareil est 
d'une exécution compliquée et est par suite coûteux; 
aussi il ne trouve guère son emploi que dans les stations 
météorologiques. 



ANALYSEURS DE IIENRIGI. 

Le principe des analyseurs étudiés par le professeur 
Henrici de Londres repose sur la remarque suivante : 

Considérons l'expression générale des coefficients de la 
série de Fourier et intégrons par parties. 

On a 



[, 12TC ! r*-* 

= \ — vsin/iO / s'm nftdy, 

L/iTi- 7 J rntj Ji 

i r 2n 

î„= — / y sin /i0 <^0 

[I -|27T , r 17Z 
rcos/i6 h / cos niïdy. 
mz J Jo n-J () J 



(0 



Fis:. io3. 



L'intégration étant faite de oà27ï, si les valeurs extrêmes 
de y sont égales, c'est-à-dire si A A' = BB' (ftg. io3), les 



l'analyse harmonique et les analyseurs. i63 

deux premiers termes du second membre des égalités pré- 
cédentes disparaissent. 

Dans le cas où les valeurs extrêmes de y ne seraient pas 
les mêmes, on ajoute à la courbe la partie B'B V de la 




dernière ordonnée. De même si la courbe est discontinue 
de CàC, oq rétablit la continuité à l'aide de la droite 

CC (fig. .o4). 

La détermination des intégrales du premier membre des 
égalités (i) revient alors à celle des intégrales 

s'mnftdy et / cos/iO dy. 

Soit y=.f(§) la courbe déterminée expérimentalement; 
il faut à chaque instant décomposer^, variation infini- 
ment petite de l'ordonnée, en deux éléments dont les 

directions fassent avec l'axe des y les angles /zQ et - — /*(), 

et faire la somme de ces éléments. Il suffit pour cela de 
déplacer parallèlement à l'axe des y deux roulettes inté- 
grantes dont les axes soient rectangulaires et fassent, à 

l'aide d'un mécanisme approprié, lesangles /zG et I /iQ 

avec la direction du déplacement. Les angles dont elles 
auront tourné donneront la valeur des intégrales cherchées. 



CHAPITRE IV. 



Dans les premiers appareils de Henrici, ces conditions 
étaient réalisées de la façon suivante : 

La courbe y =/(9) était tracée sur un cylindre Ghori- 
zontal dont l'axe portait un disque circulaire D. Ce disque 
produisait par entraînement la rotation d'un deuxième 
disque D' à axe vertical. Les deux roulettes étaient placées 
sur une roue R,, portée par un chariot se déplaçant paral- 
lèlement aux génératrices du cylindre en roulant dans la 
rainure d'une règle M. 

Fig;. io5. 




Un traçoir t fixé au bras H du chariot suivait le point de 
la courbe passant sur la génératrice supérieure du cylindre. 

Enfin la rotation du disque D' entraînait celle de la 
roue R, à l'aide d'une poulie intermédiaire R 2 sur laquelle 
s'enroulaient deux fils d'acier passant respectivement sur 
R, elR 3 . La poulie R 2 était portée par l'axe d'articula- 
tion de deux bras joignant les centres des poulies R n R 2 
et R 2 , R :5 . 

Désignons par r le rayon du disque D, par o la distance 
de ce disque au centre de D'; pour une rotation élémentaire 
dh du cylindre, D' tourne de dW, tel que 

;• dO = o dW. 



l'analyse harmonique et les analyseurs. i65 

Si l'on s'arrange de façon que -r = n , on aura 







d*F = ndQ, 
W = » ; 

par suite, quand le cylindre aura tourné de 9, la roue R 4 
portant les roulettes intégrantes aura tourné de /i9 ; celles-ci 
donnent par conséquent les intégrales cherchées. 

En donnant à n différentes valeurs, on obtient à charpie 
fois deux nouveaux coefficients. 

Le chariot était maintenu par un contrepoids ou par un 
galet ayant pour axe le prolongement du bras portant le 
traçoir. 

Appareil actuel. — Ce nouvel analyseur {fig. 106), 
construit par la maison Coradi, rappelle par certains 
points des dispositions analogues à celles de l'intégro- 
mèlre de Helle-Schaw établi par le même constructeur. 

L'appareil, représenté schémaliquement {fig. 107), 
comprend un cadre rectangulaire C porté par un axe sur 
lequel sont fixés deux rouleaux R, R; un troisième rouleau 
placé au milieu de la traverse antérieure assure l'équilibre 
de l'appareil. L'ensemble se déplace sur la feuille de papier 
sur laquelle est tracée la courbe et qu'on a étendue sur 
une surface plane. Un chariot D portant un traçoir t peut 
se déplacer dans la partie antérieure du cadre parallèle- 
ment à sa grande dimension; quatre roues S le guident 
sur les traverses TT'. 

L'appareil intégrant comprend un cadre mobile autour 
d'un axe vertical portant des poulies H de diamètres diffé- 
rents. Ce cadre entoure une sphère en verre reposant à 



L ANALYSE HARMONIQUE ET LES ANALYSEURS. 



6 7 



sa partie inférieure sur un cylindre en celluloïde G calé sur 
l'arbre portant l'appareil. Les deux roulettes intégrantes 
M l7 Mo, dont les axes sont rectangulaires, sont con- 
stamment tangentes à la sphère suivant un grand cercle 




horizontal. Les plans de ces roulettes passent par l'axe 
vertical de la sphère. 

Autour des poulies H est enroulé un fil d'argent/ dont 
les extrémités sont reliées d'une part à une poulie portée 
par le chariot D, d'autre part à un ressort de tension E. 

Déplaçons l'instrument parallèlement à l'axe des y; la 
sphère, entraînée par le rouleau G, tourne d'un angle 
proportionnel à dy autour de son diamètre horizontal 
parallèle à l'axe des rouleaux, c'est-à-dire à l'axe des x. 

Si, pendant ce déplacement, on fait avancer le chariot D 
le long des côtés T, T' du cadre, c'est-à-dire parallèle- 
ment à l'axe des x, le cadre L entourant la sphère tourne 
autour de son axe vertical d'un angle qui est proportionnel 
à x. Soit n le nombre de tours que fait la poulie h„ quand 
le chariot parcourt la longueur totale de la base = c; 
lorsqu'il se sera déplacé de x, l'angle dont aura tourné 

la poulie sera /rb = • 



l68 CHAPITRE IV. 

Si maintenant on suit le contour d'une courbe avec la 
pointe du traçoir, les deux mouvements précédents se pro- 
duisent simultanément. 

Fig. 108. 




La roulette M ( tourne alors d'un angle é/co,, tel que 
p du>i = K { a sin 716 dy 



ou 



en posant 
et par suite 



disi i = X j si n n dy, 



\ '^ 1 a 



Wi= A, 



J' sin 7i 6 dy. 
o 

De même, pour la roulette M 2 , 

J~27T 
' cos n dy. 
o 

Les valeurs des coefficients K n et B„ sont alors 



I <0 { 

A. ra — — — ^ ? 

n À! 7i 
B = IJÏL. 



l'analyse harmonique et les analyseurs. 169 

Les dimensions sont choisies de façon que 

À 1 7t = 1, À2lC = I, 

et l'on a finalement, 

A - ^1, 
n 

r W2 

n 

On fait varier n en enroulant successivement le fil sur 
chacune des poulies (H). L'analyseur peut d'ailleurs être 
établi pour comporter un ou plusieurs appareils intégrants 
selon le nombre de coefficients qu'on se propose d'ob- 
tenir. 

La maison Goradi construit un appareil à cinq sphères 
(fig. 109); chacune des poulies (H) est double : on peut 
donc avoir 10 valeurs différentes pour /i, et obtenir par 
deux opérations 20 coefficients de la série de Fourier. 

Remarque I. — Il résulte de la théorie précédente que, 
quand le traçoir est à l'origine ou à la fin de sa course, 
les axes des roulettes des sinus doivent être parallèles à 
l'axe des x, et ceux des roulettes des cosinus parallèles 
à l'axe des y. L'appareil est établi de façon que ces con- 
ditions soient remplies. 

Remarque II. — Dans la théorie précédente, on suppose 
que le centre de la sphère coïncide avec l'axe géométrique 
de la poulie ; pratiquement, cette condition n'est pas rigou- 
reusement remplie et le point de contact de la sphère et 
du cylindre décrit sur ce cylindre un petit cercle ; il en 
résulte que la sphère subit, autour d'un diamètre hori- 
zontal, une légère rotation qui modifie les indications des 



.60 




l'analyse harmonique et les analyseurs. 171 

deux roulettes. Mais si après avoir parcouru la courbe on 
revient eu arrière parallèlement à l'axe des x, tous les 
petits cercles sont décrits en sens inverse, et il y a com- 
pensation de l'erreur. 

analyseur de yule ( 1 ). 

L'analyseur de M. Udny Yule permet de déterminer les 
coefficients A„, B n d'une série de Fourier par de simples 
opérations planimétriques. 

La méthode consiste à tracer une courbe auxiliaire l elle 
que la différence entre la valeur de son aire et celle de 
l'aire de la courbe à analyser soit, à un facteur constant 
près, égale au terme A n ou B„ qu'on veut déterminer. 

Soit PQR la courbe donnée dont la base PR = 8. 




B P 



Considérons un cercle dont le centre se déplace sur la 
courbe et qui roule en même temps sur une droite XX 
parallèle a PR mobile seulement dans la direction des y y' . 

La circonférence est une partie aliquote - de la base PR. 

Soit D un point du plan du cercle situé à une distance r 
du centre et tel que le rayon KD soit sur le prolonge- 
ment de PR quand le centre K est en P. 

( l ) L'Eclairage électrique, t. IV, i8g5. 



172 CHAPITRE IV. 

L'angle dont tourne le cercle en suivant une longueur 9 
sur XX est 2 n tz 5 en parcourant une distance a?, il tour- 

nera donc de —7— #. Far conséquent, en désignant par 

x K , y les coordonnées du point K, celles de D auront 
pour valeurs 

X = X\ — r cos/i7r cos nx, 

Y = y — /• cos /iTi sin nx. 

Lorsque le centre K parcourt la courbe PQR, le point D 
décrit une seconde courbe, dont Faire est par suite 

R,= f\dX 

ou, en remplaçant Y et dX. par leurs valeurs, 

Ri = / [y — r cos/itc sin nx][dxi-+- m cos/i- s'mnx dx], 

6 

R 1 = / y dxy -+- rn cos /i t / y si n n x dx 

2 
— r cos nie / sin n x dxi -+- r 2 cos 2 mz f s'\n nxd cos nx. 

Les deux dernières intégrales sont nulles quand on 
prend pour limites celles de la courbe fermée. En dési- 
gnant alors par S la surface de la courbe donnée PQR, 

on a 

9 

Rj = S -h cos /i -n nr j y sin nxdx. 
2 

Si au début le point D se trouve sur une perpendicu- 



L ANALYSE HARMONIQUE ET LES ANALYSEURS. 

laire à PR, on a de même 



i 7 3 



FU= S 4- cos 



minr f 



y cosnx dx. 



Pour plus de commodité, on peut prendre r égal à io cm . 
On a donc en définitif 

Ri = S -+- cosn-ir. ionB„, 
R 2 — S -h cos/iTc. 10/1 A„. 

D'après ce qui précède, on voit que pour obtenir A n 
et B n il suffît de connaître S, R< etR 2 . L'appareil doit donc 
être disposé de telle sorte que le point D trace à l'aide 
d'un style les deux courbes en question, dont il faudra 
ensuite déterminer l'aire; plus simplement, on fixera en D 
la pointe d'un planimètre d'Amsler, ce qui permettra 
d'effectuer l'intégration directement. 

L'appareil de M. Yule est établi dans ce but. 

Fig. m. 




11 se compose d'un rouleau R portant la règle XX dont 
le bord est taillé en crémaillère (fig* 1 1 1). Le disque D 
est constitué par une série de roues dentées de diamètres 
différents; les nombres de dents sont respectivement 240, 



174 CHAPITRE IV. 

i2o, 80... Chaque roue porte Irois ouvertures recouvertes 
de glaces portant en leur centre des repères qui permettent 
de prendre la ligne de base. La pointe du planimètre se fixe 
dans une cavité pratiquée sur le disque, sur une normale 
à la ligne de base. Pour les petits disques, cette cavité est 
ménagée dans un bras B solidaire de la roue dentée, son 
rayon étant plus petit que la distance de la cavité au 
centre. Un disque plus grand monté sur le même axe que 
la roue dentée sert à prendre la base. 

La course de la règle étant limitée, l'échelle à employer 
varie avec chaque type de courbe et avec l'amplitude 
maximum. 

NOUVEL ANALYSEUR ( l ). 

Ce nouvel analyseur, décrit par M. Mader dans VElec- 
trotechnische Zeitschrift, est simple et donne des résul- 
tats suffisamment exacts avec une base quelconque. Son 
principe repose sur la méthode graphique de Cliflbrd et 
sa construction présente quelques analogies avec l'appareil 
de Yule. 

Il comporte essentiellement un chariot W (fig* 112), 
mobile seulement dans la direction de l'axe des y et 
auquel se trouvent assujetties trois pièces mobiles : 

i° Un levier rectangulaire FKS , mobile autour du 
point K, et muni en S d'une poulie; 

F-K = m, KS = /; 

2 Une crémaillère ZZ' mobile par rapport au chariot W 
parallèlement à l'axe des y. Son mouvement se produit 

(') La Technique moderne, t. II, mars 1910, p. 1-7. 



L ANALYSE HARMONIQUE ET LES ANALYSEURS. 



i 7 5 



sous l'action de la poulie S et d'un bras T parallèle à l'axe 
des x ; 

3° Une roue dentée de rayon R, qui peut tourner autour 
du point D du chariot W et dont les dents engrènent 
avec la crémaillère ZZ\ A chaque rotation du levier FK.S 




"JèchModeme 



correspond une rotation de la roue. Sur cette roue se 
trouvent, à une distance r du centre D, les points P^etP 6 . 
servant à fixer la pointe d'un planimètre polaire. 

Ces points, dont les trajectoires servent à calculer res- 
pectivement le coefficient d'un terme en sinus ou en 
cosinus, sont situés sur deux diamètres perpendiculaires 
de la roue D ( 1 ); de plus, l'appareil est disposé de façon 

( ] ) Dans l'analyseur de Yule, le même point trace successivement 
chacune des deux courbes correspondant à une même valeur de n; 
comme on l'a vu dans la description de cet appareil, ce point se trouve, 
au début de l'opération, dans le prolongement de la ligne de base, ou 
dans une direction perpendiculaire, suivant qu'il s'agit de calculer le 
coefficient d'un terme en sinus ou en cosinus; le principe reste le même 
dans les deux appareils. 



7 6 



CHAPITRE IV. 



qu'au début de l'opération, c'est-à-dire quand la pointe F 
est à l'origine, le point P s soit sur le diamètre de la roue D 
parallèle à l'axe des x, et le point P 6 . sur le diamètre 
perpendiculaire à cette même direction. 

Les coordonnées de ces points sont alors respective- 
ment 

x s = — (6-f-r), ,r c = — b, 

y s = g, y c = g-+ /•. 

Lorsqu'avec la pointe F on suit la courbe (fig. ii3) 
depuis l'origine jusqu'à un point x — x, y—f(x), la 

Fis. n3. 



- 



4^ 



3x4 



-• ) 
§►-■« 

en- 
«4 


/rr\ i 







poulie S et, par suite, la crémaillère ZZ' se déplacent 
parallèlement à l'axe des y de x — ; la roueD tourne donc 



d'un angle [3, tel que 



3 = -- 

1 K m 



et son centre se déplace dans le sens de l'axe des y d'une 



L ANALYSE HARMONIQUE ET LES ANALYSEURS. I77 

quantité y + *ï r (^), W(x) étant une fonction qui dépend 
de la rotation a — a du levier FRS. 

Les coordonnées des points P^ et P c sont alors 

*' =i -[* +rco, (^)]' 

.y,= £"-f-j'H-V(«0-M-siD (-j^j 
et 

.. = _* + ,. .in (^Jj), 

JKc=^ + JK-+- V(3?)-4-rcos f — 

Si avec la pointe F on suit la courbe jusqu'au point x — «, 
y = o y et si l'on revient par l'axe des x à l'origine, les 
points Pj, P e décrivent des courbes fermées. On a alors, 
-en désignant par S. ? et S c les aires correspondant à ces 
deux courbes, 

S * = f[* + r +w ^ rsia (ël)] d [- b -'-™(&] 

+ X°^ +o+,ir( " )+ '' si "Ê)] af ["*"'' co5 fâ] 

OU 

„ ri r a . l xl \ 

b ç = tï — / y si n — — dx. 
R m J Q J \ R m ) 

On a de même 

G H C a l Xl \ 1 

S c = - — / y cos 7- — dx. 

En faisant (au moyen d'un jeu de roues dentées) 

n l 1 1 1 ., 

R = a — et /'= — K, 

m OTT 11 un 

DE M. 12 



I70 CHAPITRE IV. 

où n = 1 , 2, 3, . . ., on a finalement 

Se = K — / y sin ( n ) dx = KB /n 

aJ \ « / 

S c = K — / y cos ( n ) dx — KA /t . 

«J V « / 

On met enP^ ouenP c la pointe mobile d'un planimèlre 
polaire ordinaire, on suit avec la pointe F la courbe de 
x = o jusqu'à x = a et l'on revient à l'origine en suivant 
l'axe des .r; la différence des lectures faites au planimètre 
donne K fois la valeur de B„ ou de A n en grandeur et en 
signe. Le coefficient est positif si le chiffre final est plus 
grand que Je chiffre initial, il est négatif dans le cas con- 
traire. 

En revenant à l'origine en suivant une courbe pério- 
dique quelconque^ = x(^) aLl '' eu ^ e sinvre l'axe des .r, 
on peut analyser les harmoniques de la différence 

f{x) — y^(x). 

En faisant varier méthodiquement la longueur de la base, 
la pointe F peut se déplacer de quantités connues sur le 
levier FKS ; on peut découvrir des périodicités cachées. 

La possibilité d'emploNer la base - permet de trouver 

les coefficients A„ et B„, même si la roue dentée employée 
n'est pas celle destinée à leur calcul. On divise en elïet 
la base en n parties égales et Ton calcule pour chacune 
de ces parties les coefficienls des premières harmoniques; 
la somme de tous ces coefficients divisée par n donne \ n 
ou B„. 

L'instrument est construit de façon que K = io; d'autre 



l'analyse harmonique et les analyseurs. 179 

paît, i cm2 lu au planimètre correspond à une amplitude 
de o cm , 1 ; les divisions d'un planimètre ordinaire per- 
mettent d'obtenir encore exactement le o cm2 ,i, ce qui 
correspond à une amplitude de o cm ,oi. exactitude large- 
ment suffisante pour la pratique. 

analyseur de roucherot (*). 

Cet analyseur permet de calculer directement l'ampli- 
tude et la phase d'un mouvement harmonique. 

Si l'on reprend l'expression générale des coefficients de 
la série de Fourier 

1 r 27T 1 r 27r 

A, t = — / y cos/iO c/0, B n = — / j^ si n 71 0d6, 

on voit que le calcul de ces coefficients revient à la déter- 
mination des surfaces 



/^cos/iO^O, I ys'in/i 



6^6. 



Or il est indifférent de prendre y cos ft9 ou ysin/iO 
pour ordonnée et c/9 pour base, ou y pour ordonnée et 
cos/i9<:/9 ou sin/*9<i9 pour base. Pratiquement, c'est ce 
dernier procédé qui est le plus simple. 

Soit donc M {fig. 11 4) un point quelconque de la 
courbe, de coordonnées y et 9. Menons par M une 
droite MA de longueur a faisant avecFaxe des 9 l'angle /i9, 
et par A une droite A M' de même longueur faisant n§ 
avec le même axe. 

( l ) Lumière électrique, 12 août 1898. 



100 CHAPITRE IV. 

On obtient un point M 7 dont les coordonnées sont 

y et / = + 2acos«6. 
Les points tels que M' définissent une courbe G' dont 
Fig. t t 1 




l =Q+2cl Cos n. 6 

Taire élémentaire a pour expression 

y dl — y [ i — 2 an sin n 6 ] c/0. 

Si alors on fixe la pointe d'un planimèlre en M, il effec- 
tuera la mesure de Taire de la courbe G', dont la valeur 
est pour une période 



i 



ydQ 



na I 



y sin rtô <Y9, 



^,27T 

Le terme / y d& disparait, si l'on suppose que le 

♦- o 

premier terme du développement de la série de Fourier 
est nul, c'est-à-dire si l'ordonnée moyenne de la courbe 
est nulle. 

Pour éviter les surfaces négatives, le planimètre ne 
faisant pas de distinction entres les surfaces positives el 
les surfaces négatives, on ajoule à l'ordonnée y une con- 



l'analyse harmonique et les analyseurs. 181 

stante K choisie de telle sorte que y-f-K soit toujours 
positif. 

On a alors, pour une période, 

/ (j^-+~K)[ I — 2/ia sin/iG] rfO 



- C ydiï-h f KdQ — inaK f sin nQ dQ 
y sin/iO o?0, 

le premier et le troisième terme étant nuls, il reste 

y sinnô dft 
■ 
OU 

(i) J\o = 2tcK — naC n coscp rt . 

En inclinant la droite MA sur MM', non plus de n 9 
mais de - 4- nG, on aurait pour lieu du point M' une nou- 
velle courbe dont l'aire X' serait 

,271 



X'= 2itK -+- ina 
ou 



/ y cos/i6 dd 



(2) JW = 2tK -f- na C n sin cp„. 

Les égalités (1) et (2) permettent de calculer C/i et o n . 

11 résulte de ce que nous venons de voir qu'il est aisé 
de concevoir un appareil réalisant les conditions de la 
théorie précédente. 

L'analyseur de Boucherot (fig. 1 1 5) est disposé de la 
façon suivante : 



182 



CHAPITRE IV. 



La feuille de dessin sur laquelle est tracée la courbe 
étant étendue sur une surface plane, on place une règle 
métallique A parallèlement à Oy. Le long de cette règle 
peut glisser un chariot G solidaire d'une seconde règle B 
perpendiculaire à la première, et sur laquelle peuvent se 
déplacer deux chariots E, F dont l'un (E) porte un pignon/? 
engrenant avec la denture d'une crémaillère taillée sur B. 

Fier, il 5. 




Ce pignon en tournant communique son mouvement à 
une tige M articulée à son extrémité O avec une seconde 
tige M' dont le mouvement produit le déplacement du 
chariot F le long de la règle B. 

D'après ce que nous savons, si l'on suit avec un traçoir 
fixé à E la courbe donnée, le point de F ayant même 
ordonnée et pour abscisse celle du point d'articulation de 
M' avec F décrit une courbe dont il fau t mesurer Taire. Pour 
cela il suffit de fixer sur F la pointe d'un planimètre P. 

Le pignon p transmet son mouvement à la manivelle M 
à l'aide d'un train d'engrenages qu'on modifie pour 
obtenir les différentes valeurs de n. 



L ANALYSE HARMONIQUE ET LES ANALYSEURS. 



83 



Les deux chariots E et F peuvent être remplacés par le 
dispositif de la ligure i 16 dont le fonctionnement se com- 
prend aisément. 

Nous avons supposé que le terme C était égal à zéro, 
c'est-à-dire que l'ordonnée moyenne de la courbe était 
nulle. S'il n'en est pas ainsi on déterminera C par une 
opération planimétrique. 

Fig. ii 6. 




Les formules établies précédemment deviennent alors 

eAo =^27r(K±C ) — fiaC n coscp,,, 
cAa'= 2ir(K±G )-f- ?iaC n sincp /i# 

suivant le signe du terme G . 

ANALYSEUR DE SCHARP ('). 

Cet analyseur permet d'obtenir par une seule opération 
l'amplitude et la phase d'un terme de la série de Fourier, 
c'est-à-dire C n et <q u dans C^ sin(/i 9 -f- o n ) ou les coef- 
ficients A.,, et B,i. 

Principe de V appareil. — Supposons que la courbe à 
analyser soit tracée avec une échelle d'abscisses telle que 
la période soit égale à i iz. 



( x ) L'Eclairage électrique, t. IV, 1890. 



i»4 



CHAPITRE IV. 



Considérons (fig. i 18) une rouletle à axe horizon lai r r 
dont le plan est constamment parallèle à la direction Oy r 
et un traceur P, relié à l'axe de celte roulette, avec lequel 
on suit le contour de la courbe. 

Cette roulette peut rouler sur le coté TT'd'un chariot FF 
mobile seulement dans la direction Ox. 

Si l'on fait subir à l'ensemble un mouvement parallèle à 
Oy, le développement de la roulette est égal au déplace- 

Fig. 117. 





\ G -'-" 


y 






\*' 








\ 








r~*k 


q' 






— 1 \- 


9 




T^""^*"" 


^ i & 




JC 


/ sXs 







\ 




R' 





ment du style parallèlement à (Dr, c'est-à-dire à dy r 
tandis qu'un mouvement parallèle à Ox ne produit aucun 
développement. 

Supposons maintenant une roulette r ayant même axe 
que la précédente et appuyée sur un disque horizontal, 
tournant autour d'un axe vertical d'un angle propor- 
tionnel à Q quand le style se déplace parallèlement à Ox y 
et accompagnant l'ensemble en subissant en même temps 
des mouvements de translation dans son plan ; il est 
facile de voit- que, par suite de l'adhérence du disque, 
et de la roulette, le lieu des points de contact de celle-ci, 
quand le style suit la courbe C (fig- 118), sera une courbe y 



L ANALYSE HARMONIQUE ET LES ANALYSEURS. l8> 

(fig. i 17), dont la tangente en chaque point est la trace 
du plan de la roulette sur celui du disque et fait l'angle 
avec Oy r . 

De plus chaque élément pp' de cette courbe est égal au 
développement élémentaire de la roulette, c'est-à-dire au 
déplacement 'du style parallèlement à Ojk, s'il n'y a pas 
glissement de celle-ci suivant, son plan. 

Soient alors Ox', O/', les directions du plan du disque 
qui au commencement de l'opération sont parallèles aux 
axes Ox, Oy auquels est rapportée la courbe donnée G. 

A. deux points PP' infiniment voisins sur G correspon- 
dent sur y les deux points/?// distants, sur le contour de 
la courbe, de dy, et l'on a, en projetant sur Ox' et Oy' ', 

s' s = dx' = dy sinô, 
qq' = dy' = dy cos6. 

Abaissant du point R de la courbe y correspondant à la 
fin de la période une perpendiculaire RR' sur Oy\ on a 
également 

RR' '= Zs's = / sintidy, 
OR' = — Zqq' = — / cosïï dy 



et comme 



Jsin0rf/= — / y cosO d§ = — ttAj, 
Jo 

^27T ,,271 

/ cosbdy = / y sin6 dô = ttB,, 



l86 CHAPITRE IV. 

On en déduit 

RR'^ — TtAi, 

OR'^ — ttB,, 

OR ==rv/AfH- \i* = -C u 

?1 = /or. 

Par conséquent, à un facteur constant près, le segment 
RfV représente le coefficient A, du terme en cosG, OR 
le coefficient B { du terme en sin8, OR l'amplitude et 
y' OR la phase. 

En faisant en sorte que, dans l'intervalle d'une période, 
le disque fasse successivement i,2.../2 tours, on obtient 
autant de courbes y, et par suite les différentes valeurs 
des A, B, G, o,, A 2 B 2 C 2 cp 2 , 

Description. — L'appareil est disposé de la façon 
suivante : 

Un chariot F (fig. i 18), dont la grande dimension est 
parallèle à yy 1 , repose sur trois roues W et peut se dé- 
placer parallèlement à l'axe des abscisses en roulant sur 
la feuille de dessin sur laquelle est tracée Ja courbe G à 
analyser. 

Le long du grand côté TT' du chariot F peut rouler à 
l'aide de galets g g un petit chariot F' portant le style P 
et un axe aa' parallèle à Ox; sur cet axe sont montées 
deux roulettes r, r 1 de même diamètre dont l'une, ;*', 
entraîne la rotation de celui-ci en roulant sur le côté TT' 
pendant le déplacement du chariot F', tandis que l'autre, r, 
repose sur le disque ainsi qu'il a été dit précédemment. 

On pourra donc avec le style P suivre le contour de la 
courbe G, par suite du double mouvement résultant du 



L ANALYSE HARMONIQUE ET LES ANALYSEURS. 



87 



déplacement de F parallèlement à Ox : et de celui de F 
par rapport à F parallèlement à Oy. 

L'appareil comporte trois disques d t , d 2 , d$. Le disque 
d K , dont l'axe est supporté par le bras B du grand côté, 

Fig. 118. 




reçoit son mouvement de rotation proportionnel au dépla- 
cement suivant Ox, c'est-à-dire à 8, à l'aide d'un train 
d'engrenages actionné par un arbre / supportant les 
roues W. La face supérieure de ce disque est munie d'un 
doigt pénétrant dans une rainure tracée sur la face infé- 
rieure du disque d 2 et suivant un diamètre. 

La face supérieure de d- 2 porte une seconde rainure 
creusée suivant un diamètre perpendiculaire au premier. 
Danscetle rainure pénètre un doigt fixé à la face inférieure 
du plateau d 3 sur la face supérieure duquel repose 
la roulette /'. De cette façon le plateau d 3 tourne du 
même angle que d K , et en même temps un point quel- 
conque de d 3 peut devenir centre de rotation du point de 



CHAPITRE IV 



contact du plateau et de la roulette, point dont le mouve- 
ment élémentaire doit être parallèle à Oy, c'est-à-dire faire 
l'angle avec la direction du plateau primitivement paral- 
lèle à Oy. 

L'arbre /porte à chaque extrémité des roues (W) dont les 

diamètres sont dans les rapports i , ■£, j, En les faisant 

rouler succcessivement sur des rails plats posés sur la feuille 
du dessin, on a les différents mouvements 9, 28, 36, ... et 
par suite les moyens de calculer A, B, G, o 4 , A. 2 B 2 C 2 ^2i 

Compteurs harmoniques. 

On désigne généralement sous le nom de compteurs 
harmoniques des appareils destinés à effectuer l'opération 
inverse de celle des analyseurs, c'est-à-dire à donner la 
somme des termes des différentes harmoniques simples 
constituant un phénomène, chacune d'elles étant déter- 
minée en amplitude et en phase. 

Ces appareils, imaginés par Lord Kelvin, ne sont guère 
utilisés que pour la prédiction de la hauteur des marées. 

Ils sont d'un prix élevé et d'une construction compli- 
quée; nous n'insisterons pas sur leur description. 

Dérivateurs. 

L'élude des intégrateurs amène logiquement à se 
demander s'il n'est pas possible de construire des appareils 
permettant d'effectuer l'opération inverse de l'intégration, 
c'est-à-dire de déterminer Ja dérivée d'une fonction don- 
née par une courbe. 

Contrairement à ce qui se passe en analyse, le pro- 



l'analyse harmonique et les analyseurs. 189 

blême de la dérivalion est beaucoup plus difficile à 
résoudre mécaniquement que celui de l'intégration; et 
cela se comprend assez facilement si l'on remarque que le 
premier revient à tracer une tangente à une courbe, tandis 
<jue le second se réduit à la détermination d'une longueur. 
Or, la détermination de la tangente en un point d'une 
■courbe est en général très imprécise, sauf dans certains 
cas très particuliers où elle peut se faire par une con- 
struction géométrique simple. 

Abdank-Abakanowicz signale les difficultés qu'on ren- 
contre alors dans ce cas. 

La moindre erreur dans la direction de la tangente 
peut produire, en effet, une différence considérable dans 
la grandeur correspondante de l'ordonnée de la courbe 
différentielle qui présentera par suite un tracé très irré- 
gulier. 

Dans l'intégration mécanique, au contraire, un écart 
dans le parcours de la courbe produit seulement un pivo- 
tement de la roulette qui est sans influence appréciable 
sur la régularité du trait de la courbe intégrale. 

Ceci explique les insuccès qu'on a éprouvés chaque 
fois qu'on a tenté de résoudre le problème de la déri- 
vation mécanique. 

Parmi les recherches qui ont été faites dans ce but, il 
convient de citer celles de M. Mestre, qui a proposé, en 
j 885, un appareil devant servir à la fois de dérivateur et 
d'intégrateur ('); étudié par M. Napoli dans les Ateliers 



( l ) Voir, pour la description de l'appareil projeté par M. Mestre 
Les intégraphes et la courbe intégrale, par Abdank-Abakanowicz. 
Gauthier-Villars, Paris, 1886. 



igO CHAPITRE V. 

de construction d'Instruments de précision de la Compa- 
gnie de l'Est, il n'a pu donner de résultats satisfaisants. 

On peut signaler également des appareils dus à Helle- 
Shaw, et appelés différentiateurs , qui servent en réalité 
à comparer entre elles deux vitesses uniformes dont 
l'une est connue. 

Nous n'insisterons pas sur la description de ces appa- 
reils. 



CHAPITRE Y. 

INTÉGRATEURS COMPOSÉS. 



Généralités. 

On désigne généralement sous le nom d' intégrateurs 

composés une catégorie d'appareils destinés à déterminer 
l'intégrale d'une équation différentielle. Le problème 
ainsi posé n'a reçu que des solutions particulières, et, 
étant donnée la diversité des types d'équation qu'on 
peut rencontrer, il semble diflicile de réaliser pratique- 
ment des appareils capables de résoudre la question dans 
le cas le plus général. 

Néanmoins, Lord Kelvin a (ait à la Société royale de 
Londres une Communication dans laquelle il a exposé une 
méthode pour intégrer des équations de forme quelconque, 
en utilisant le principe disque, sphère et cylindre, déjà 
appliqué à la construction des analyseurs harmoniques. 



INTÉGRATEURS COMPOSÉS. igi 

En réalité, ces appareils ne sont pas entrés dans la pra- 
tique. 

Amsler, clans ses recherches sur l'intégration méca- 
nique, avait envisagé la question des intégrateurs com- 
posés; il a donné un appareil répondant à un cas particu- 
lier, que nous allons décrire avant d'indiquer deux 
méthodes qui ont fait l'objet de Communications à l'Aca- 
démie des Sciences. 

Appareils d'Amsler. 

Ces appareils sont destinés à évaluer les intégrales de 
la forme 

(1) I y"x" l dx, 



y étant considérée comme une fonction de x] on fait un 
changement de variable en posant 

dz = x" 1 dx. 

Dans le cas particulier où n = 2, m = 1 , l'intégrale ( 1 ) 
prend la forme 

/ y- x dx 

On peut l'évaluer de la façon suivante : 
Posant 

y = -2 a sina, 

on a successivement 

y-= 4 a 2 sin 2 a = ici*— ia- cos2a, 
/ y- x dx = 2 « 2 / x dx — 2a 2 I x cos iv. dx. 



192 



CHAPITRE V. 



Le long d'une courbe fermée, / x dx = o ; il reste donc 

à calculer mécaniquement / x cos 2 a dx. 

L'appareil d'Amsler, établi dans ce but, comprend 
essentiellement deux chariots C, C pouvant se déplacer 

Fig. 119. 
3/ 




parallèlement à Ox, en roulant dans la rainure d'une règle 
métallique comme dans beaucoup d'appareils précédem- 
ment décrits. 

Le chariot G porte une tige T, terminée par un stjle et 
pouvant se déplacer parallèlement à Oy. Un disque D, 
disposé sur ce chariot, est solidaire d'une tige / articulée 
en m avec une seconde tige V de même longueur reliée 
à T; ce disque engrène avec une roue d de diamèlre 
moitié moindre et munie en son centre d'une roulette 
intégrante. L'ensemble est disposé de façon que Taxe de 
celte roulette fasse avec Ox un angle = 27. quand les 
deux tiges /, /' font avec ce même axe l'angle a. 



INTÉGRATEURS COMPOSÉvS. Hji 

Le chariot C porte un disque D' sur lequel repose la 
roulette intégrante de la roue d. Il peut être mis en mou- 
vement par une crémaillère Pv en prise avec une roue 
dentée /• qui se déplace en même temps que C, en roulant 
sur une crémaillère fixe parallèle à Ox. 

Le disque D' reçoit en outre un mouvement de rotation 
par l'intermédiaire d'une roue r' qui lui communique une 
rotation proportionnelle à x, à l'aide d'un train d'engre- 
nages. 

Supposons que le point de contact de la roulette et du 
disque D' soit nu centre de ce dernier quand le style de 
la tige T est sur l'axe des x. 

Quand le style sera sur un point de la courbe d'abscisse .r, 
la distance du point de contact au centre O' sera Qx 
(C constante), et si Ton déplace alors le style de dx, le 
disque D ; tournant d'un angle proportionnel à dx, le 
point de contact de la roulette décrit Cx dx. Le déve- 
loppement de eetle dernière, projection de Cx dx sur 
son plan, sera par suite 

Cx dx cos2a, 

auquel il faut ajouter le développement résultant du mou- 
vement relatif du disque et de la roulette, c'est-à-dire 



dx 



Le déplacement du style suivant Qy ne produit pas de 
rotation de la roulelle, puisque, du fait de ce mouvement, 
elle pivole autour de son point de contact. 

La rolalion de la roulelle est donc au total 



( / x cos 2 a dx -h / si n i a dx \ 



DK M. 



194 CHAPITRE V. 

On peut obtenir directement l'intégrale / su\iy.dx 
par l'un des dispositifs décrits antérieurement. La valeur 



Fier. 120. 




de l'intégrale / xcosicf.dx est par suite complètement 
déterminée. 

Méthode de M. Pétrovitch. 

L'appareil suivant, présenté par M. Pétrovitch à l'Aca- 
démie des Sciences (' ), fournit un procédé d'intégration 
graphique de certaines équations différentielles. 

Soient C, Q! deux cylindres verticaux de même dia- 
mètre, tournant par l'action d'un mécanisme d'horlogerie 
avec une vitesse uniforme autour de leurs axes. Ces deux 
cylindres sont placés au-dessus d'un vase B, formé de 
deux faces planes parallèles au plan de la figure, de deux 
autres faces cylindriques perpendiculaires à ce plan et 



(') Communication de M. Michel Pétrovitch, présentée à l'Académie 
des Sciences par M. Appell, séance du 17 mai 1897. 



INTEGRATEURS COMPOSES. 



igj 



d'une face inférieure plane horizontale. Ce vase contient 
du mercure qui peut s'écouler par un orifice O pratiqué 
dans la face inférieure. Le long des cylindres G et C/ 
peuvent se déplacer verticalement deux tiges/,/ 7 portant 
à leur partie supérieure deux styles /*, r' et à leur partie 
inférieure, la tige / un corps M de forme prismatique, la 
lige/' un flotteur s. 

Fiff. 121. 




^ On conçoit que la forme du corps M, celle du vase B 
et la largeur de l'orifice étant fixées, la loi de variation 
de la hauteur du niveau avec le temps dépende de la façon 
dont on immerge le corps M, c'est-à-dire de la loi de 
déplacement de la tige /pendant ce même temps. 

Cette loi pourra être représentée, par exemple, par une 
courbe y tracée sur le cylindre C, les temps étant comptés 
sur la périphérie de la hase du cylindre, les déplacements 
suivant les génératrices, à partir du plan inférieur du 
vase. 

Désignons alors par a l'aire de la section horizontale 



I<)6 CHAPITRE V. 

du corps M, par z la distance de la base du cylindre C au 
plan du niveau du mercure, y celle de ce même plan à la 
face inférieure du vase, $>{y) l'aire de la section horizon- 
tale du vase au niveau y, et x la distance du style r à la 
face inférieure. 

Assujettissons lu pointe r à se trouver constamment 
sur y, et prenons pour unité de longueur celle de l'arc 
parcouru par un point quelconque du cylindre dans 
l'unité de temps; on aura à chaque instant 

*=/(«)■ 

Si, pendant le temps dt, nous immergeons le corps M, 
en faisant descendre la lige /de dx, la tige /' va monter 
de dy, et par l'orifice O s'écoule une quantité de mer- 
cure égale à ail \Ji gy dt (Q étant l'aire de l'orifice, et p. 
le coefficient de contraction du mercure). 

Or, la quantité de liquide qui s'est élevée au-dessus 
du niveau y est égale à la différence entre la quantité 
déplacée par le corps M, quand celui-ci sera immergé 
de dx, et celle qui s'est écoulée par l'orifice. 

On a donc 

[*( y) -a]dy = aclz — l/ï dt, 
eu posant 

x = \ia/2g. 

Mais 

z = x—y, 
dz = dx — dy, 
d'où 

[<b(y) — a] dy = a(dx — dy) — l\Jy dt. 



INTEGRATEURS COMPOSES. 197 

L'équation différentielle du problème est donc 

L'intégrale y = o (t), qui pour t = o prend la valeur 
y=H, hauteur initiale du mercure, représente la loi de 
variation de cette hauteur avec le temps; l'extrémité r' 
de la tige/*' tracera donc cette intégrale sur le cylindre C\ 

On a ainsi l'intégration graphique de toutes les équa- 
tions de la forme ( i ). 

On peut d'ailleurs faire varier 0(y), a, /(/), c'est-à- 
dire la forme du vase, celle du corps M et la loi de dépla- 
cement de ce dernier; la section û de l'orifice pourra 
également être une fonction du temps. Il sera dès lors 
possible, en disposant de ces coefficients, d'identifier 
l'équation ( 1 ) avec un nombre assez considérable de tvpes 
d'équations différentielles. 

En particulier, si 

l'équation ( 1 ) prend la forme d'une équation de Kiccati 

du , v > „ 

- t =V.it) -!«<-. 

Cet appareil donne lieu pratiquement à certaines diffi- 
cultés de réalisation, en particulier pour la construction 
du récipient dont les faces cylindriques ont une section 
dépendant de la forme de la fonction <I> (y). De plus, il 
se produit des effets de capillarité qui sont de nature à 
altérer les résultats. 



198 CHAPITRE V. 

Intégrateur à lame coupante de M. l'ingénieur Jacob. 

Le principe de la lame coupante, déjà utilisé dans la 
construction du planimètre de Prytz, permet d'effectuer 
l'intégration numérique d'un certain nombre d'équations 
linéaires. Dans une Note communiquée à l'Académie 
des Sciences ('), M. Jacob, ingénieur général d'Artillerie 
navale, a montré comment on pouvait en particulier, à 
l'aide de ce procédé, intégrer l'équation de Riccati et 
celle d'Abel. 

Ces dernières sont de la forme 

On peut d'ailleurs ramener à ce type les suivantes : 

/(« < r + P) = Ar t +»^ + Ç, 

dans lesquelles a, [3, A, B, C sont des fonctions de la 
variable données algébriquement, ou simplement par 
leurs valeurs numériques. 

La partie essentielle de l'appareil est une tige horizon- 
tale XB(Jig. i 22), portant à son extrémité Aune pointe ver- 
ticale Aa; le long de la partie AB peut coulisser un man- 
chon M auquel est fixée la lame coupante, ou mieux une 
roulette à bords tranchants, dont l'usure est moins rapide. 
Ce manchon peut être fixé en un point de la tige AB à 
laide d'une vis de pression. 



(') Noie de M. Jacob, présentée à l'Académie des Sciences par 
M. Maurice Lévy, séance du 29 avril 1907. 



INTEGRATEURS COMPOSES. 



199 



La distance ab = p est la base de l'appareil. Pour 
l'intégration de l'équation de Riccati, le manchon est fixe 
et ab est constant; pour l'intégration de l'équation d'Abel r 
le manchon est mobile et ab = p varie d'après une loi que 
détermine une coulisse-guide de forme convenable. 

Fiff. 122. 




L'appareil étant placé sur une feuille de dessin et \st 
lame coupante ayant mordu dans le papier, si avec la 
pointe a on suit une courbe D (directrice), la droite ab 
enveloppe une courbe E à laquelle elle est tangente en b. 

Soient x, y les coordonnées du point a sur la directrice 
rapportée à deux axes de coordonnées rectangulaires; 
Xi, y K , celles du point b sur la courbe enveloppe E; 
to, l'angle de la base avec l'axe des x (fi g. is>.3). 

On a 



(1) 
avec 

(2) 



X = X { -+- p COSU), 

y =yi-+- P sinco, 



dxi 



Difïérenliant (1) il vient, en tenant compte de (2). 

dx = dxy — p sinco dto -+- dp cosco, 
dy = dy x -h p costo^w -+- dp sinto, 
( 3 ) p doi -+• dx si n to — dy cos 00 = o. 



200 



CHAPITKK V. 



Si Ton exprime les coordonnées x % y de la directrice en 
fonction d'une même variable t, l'équation (3) devient 



dt 



x t sin w — r t ces co = o. 



Fig. i23. 



• V 



Posons 



on a 




tang — = u 



du 
du> dt 



dt " 


[-4-^2 


d'où 




(4) 


■i : 



1 -t- u- 



du „ , 

p—z y t {\ — u- ) -h •iux t = o. 



Si p est constant, (4) est une équation de Riccati. 

Si p = ZM, l étant une constante, c'est une équation 
d'Abel. 

En mesurant l'angle co, on connaîtra la valeur numé- 
rique u = tang— de l'intégrale de (4). 



INTEGRATEURS COMPOSES. >OI 

Supposons qu'on se donne la valeur initiale /„. et la 
valeur u de la fonction u. On connaît par suite le 
point x ,y de la directrice et l'angle de la base avec Ox ; 
pour calculer l'intégrale, on place la pointe a au point 
ainsi déterminé et l'on donne à la tige AB l'inclinaison 
voulue; on suit alors la directrice dans le sens convenable 
et l'on mesure w correspondant aux valeurs de l pour 
lesquelles on veut connaître u. 

Si une équation de Riccati ou d'Abel est donnée sous 
sa forme générale, on commence par réduire l'équation 
de Riccati à l'une des formes 

a' = A a 2 -+- B u zp A , 

par la substitution y=z\u, et l'équation d'Abel à la 
forme 

u u' = A u* -h B u — A , 

par la même substitution ; dans ce dernier cas, X est déter- 
miné par une équation linéaire introduisant une constante 
dont on peut disposer suivant les conditions du pro- 
blème. 

Pour déterminer la directrice, on identifie l'équation 
réduite avec (4); on a alors deux relations donnant l'ex- 
pression des coordonnées x et y, et l'on construit la courbe 
à l'aide de quadratures. 

Si l'équation de Riccati se ramenait à la forme 

u' = A?* 2 -h Bu -+- A, 

dans un intervalle donné, on la comparerait à celle qui 

donne l'angle de la base avec la tangente à la directrice. 

Cet intégromctre permet de résoudre numériquement 



202 CHAPITRE V. — INTEGRATEURS COMPOSES. 

les questions qu'on rencontre en Artillerie, principale- 
ment dans les problèmes de balistique intérieure et exté- 
rieure et dans l'étude du développement des pressions 
d'un explosif agissant comme torpille. 

Il permet également d'effectuer l'intégration de l'hodo- 
graphe ; il a été construit, pour la Commission d'expé- 
riences de Gàvre, un appareil basé sur ce principe et 
destiné à déterminer le mouvement d'un point dans un 
milieu résistant. 



ERRATUM. 



Page 3, ligne 3 en remontant, au lieu de la valeur numérique d'une 
relation différentielle, lisez la valeur numérique de l'intégrale d'une 
relation diflerentielle. 



FIN. 



TABLE DES MATIÈRES. 



I'ages. 

Avertissement , v 

Introduction i 



CHAPITRE PREMIER. 

LES PLANIMÈTRES. 

Généralités 8 

i° Planimètres à lige de longueur constante. 

Théorie. — Première démonstration i3 

Deuxième démonstration 17 

Position de la roulette 22 

Dispositions pratiques des planimètres 23 

Planimètres polaires. — Planimètre polaire d'Amsler i\ 

Planimètre à compensation 27 

Planimètre à disque de la maison Coradi. 29 

Planimètres linéaires. — Planimètre roulant à sphère 35 

Planimètre linéaire à disque tournant . 3f> 

Planimètre de Prytz 4- 

Planimètre de Pétersen 5o 

2 Planimètres à rotation. 

Théorie 62 

Planimètre d'Hoppikofer , 5G 

Planimètre de Wetli 5() 

Planimètre de la maison Richard Ci 

Planimètre à rotation d'Amsler 65 

Planimètre J. Thomson 68 

Application du planimètre au calcul d'intégrales 70 

3° Planimètres spéciaux. 

Planimètre radial Durand-Amsler 71 

Planimètre de Reuvière "3 



■204 TABLE DES MATIÈRES. 

Pages. 

Planimètre sphérique d'Amsler -5 

Stéréographomètre 80 



CHAPITRE II. 

LES INTÉGROMÈTRES. 

Principe des intégromètres 86 

Intégromètres d'Amsler : 

Intégromètre d'Amsler donnant la valeur des intégrales / ydx, 

I y- dx, I y 3 dx 9a 

Intégromètre d'Amsler donnant la valeur de l'intégrale / y^dx. g5 

Intégromètres de Helle-Shaw : 

Appareil de la maison Coradi 98 

Autre appareil de Helle-Shaw 102 

Intégromètre Marcel Desprez 107 

CHAPITRE III. 

LES IN TÉGR APRES. 

Généralités 1 10 

Courbes différentielles et courbes intégrales. 

Définitions et propriétés 112 

Interprétation géométrique des courbes intégrales. Moment sta- 
tique et centre de gravité. Moment d'inertie 119 

Inté graphes. 

Appareil de Coriolis 127 

Intégraplie de Zmurko i3i 

Intégraphe de Roys 1 34 

Intégraphes d'Abdank-Abakanowicz : 

Premiers appareils i3G. 

Autres appareils. Différents modes d'orientation de la roulette. 1 3q 
Intégraphes Abdank-Napoli : 

Premier modèle 1^1 

Intégraphe Abdank-Napoli à roues d'angle 1 \i 



Intégraphes Abdank-Coradi 1 44 



Intégraphe actuel de la maison Coradi 1^5 



TABLE DES MATIEKES. 203 

CHAPITRE IV. 

l'analyse harmonique et les analyseurs. 

i° Généralités. 

Pages. 

Série de Fourier. Analyse harmonique i4y 

Procédés graphiques i5a 

Procédés mécaniques i">7 

2° Analyseurs. 

Analyseur de Lord Kelvin i5y 

Analyseurs de Henrici. — Premier type i6\ 

Appareil actuel delà maison Coradi... iG5 

Analyseur de Yulc 171 

Nouvel analyseur 174 

Analyseur de Boucherot 179 

Analyseur de Scharp i83 

Compteurs harmoniques. — Dérivateurs 188 



CHAPITRE V. 

intégrateurs composes. 

Généralités np 

Appareils d'AmsIer 191 

Méthode de M. Pétrowitch 19J 

Intégrateur à lame coupante de M. l'ingénieur Jacob 198 



FIN DE LA TABLE DES MATIERES. 



INDEX ALPHABÉTIQUE 



Nota. — Les numéros se rapportent aux pages où figurent les noms 
et les appareils désignés dans l'Index. 



Abdank-Abakanowicz, 6, no, 129, 

i36, 189. 
Abel, 198-201. 
Amsler, 5, 10, 20, 33, G5, 71, 70, 

80, 92, 191. 
Analyseurs harmoniques, 4> l kl~ 

188. 
Appel, 1 9 1 . 
Ausfeld (de Gotha), 61. 

B. 

Basil Widmore, i5>. 
Beuvière, 73. 
Boucherot, 6, 1-9. 
Boys, 6, i3',. 

C. 

Cauchy, 1 r ( S, i5i. 
CliiTord, 1 54, 1 74 • 
Compteurs harmoniques, 188. 



Coradi, 26, 33, 4 2 i 

i65, 169. 
Coriolis, 12G, 129. 



Desdouits, 112. 
Desprez, 5, 107. 
Différentiateurs, 3, 190. 



i4ï, i45, 



Différentielles (courbes), 112-127J 
Dudebout, 112. 
Durand, 171. 

E. 

Ernst, 58. 

F. 
Fourier. 147-183. 



Gâvre, 202. 
Grecs, 1. 



H. 



Hansen, 61. 
Helle-Shaw, 5, 98, 102. 
Henrici, 6, 162. 
Hoppikofer, 5, 5G, 60. 

I. 

Intégrales (courbes), 111-127. 
Intégraphes, 4, 1 10-147. 
Intégrateurs, 3. 
Intégromètres, 4, 5, 86, 110. 
Institut of Naval Archilects, 112. 

J. 

Jacob, 6, 198. 
Johnstone ( J.-G. ), 112. 

K. 

Kelvin (Lord), 5, 187, 188, 190. 



•20S 



INDEX ALPHABETIQUE. 



Leibniz, 2. 
Lévy, 198. 
Liouville (Journal de), 127. 

M. 

Machinesà calcul (Introduction). 

Mader, 1 74- 

Mestre, 189. 

Moivre, 88. 

Moment statique. 119. 

Moment d'inertie, 121. 

Morin ( Général), 58. 

N. 
JNapoli, i'-M), 14 1> 189. 
Néper. 1. 

O. 
Ocagne (M. d'), 2. 



Pascal, 2. 
Perry, ij5. 
Pétersen, 24, 5o. 
Pétrowitch, G, 194. 
Planétaire (Système), 100. 
Planimètres, 4, 9-85. 
Pollard, 1 12. 



Foncelet, 58. 

Prytz, 24, 42, 5o, 198. 

R 

Riccati, 197-201. 
Richard, 61. 
Romains, 1. 
Roulette intégrante, ri. 



Scharp, G, i83. 
Stampfer, Gi . 
Starke, Gi. 
Stéréographomèlre, 5, 80. 

T. 
Thomson (J.),".5, G8, i58. 
Thomson (\V.) (Lord Kelvin),, 5, 

IJ7, 188, 190. 

Y. 

Yule, 171, 174, 175. 

W. 

WaltherVonDicU(Avertissement),i 
Wetli, 59, 121. 
Widmorc ( Basil), i5 >.. 

Z. 

Zmurko, 1 1 5, i3i. 



ion Paris. — Imprimerie GAUTIIIER-VILLARS quai des Grands-Augustins, 5*. 




Date Due 
ËP ■ 


■ 








































■ 
















1 
































■ 








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j 








■ 






I 










L. B. CA1 


. NO. 1137